2.1向量的基本概念和基本运算
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r
r r r ．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++r r r r r
r ；③00a a a +=+=r r r r r ．
⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r
顺桨
r ．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
玉石板⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r
r ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．
19、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr
． ①
a a λλ=r r
；
②当0λ>时，a λr
的方向与a r
的方向相同；当0λ<；时，a λr 的方向与a r
的方向相反；当
0λ=时，0a λ=r r ．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③()
a b a b λλλ+=+r r r r
．
⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r
．
20、向量共线定理：向量()
0a a ≠r
r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．
设()11,a x y =r
，()22,b x y =r ，
其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()
0b b ≠r r r 共线．
2.2平面向量的基本定理及坐标表示
21、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r
．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作
delta并联机器人
为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，
当12λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
．
（当时，就为中点公式。）1=λ 2.3平面向量的数量积
23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。）：
⑴()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o o
r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，
a b a b ⋅=r r
r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r
或a =r
．③a b a b ⋅≤r r r r ．
⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r
；③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．
⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ⋅=+r
r ． 若(),a x y =r ，则222
a x y =+r
，
或a =r ． 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则
12120a b x x y y ⊥⇔+=r
r ．
设a r 、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，
则cos a b
a b θ⋅==r
r r r ．
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r
平行的任意非
零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：
若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r
，如果n α⊥r
，那么向量n r 叫做平面α的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．
②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r
．
④根据法向量定义建立方程组0
n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.
（如图）
1、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，
则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r
，则要证明l ∥α，只需证明
a u ⊥r r ，即0a u ⋅=r r
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行
若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证α∥β，只需证u r ∥v r ，即证u v λ=r r
.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直
设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r
、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥r r ，即0a b ⋅=r r .
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线l 的方向向量是a r ，平面α的法向量是u r ，则要证明l α⊥，只需证明a r
∥u r ，即a u λ=r r .
②（法二）设直线l 的方向向量是a r ，平面α内的两个相交向量分别为m n u r u u r
、，若0
,.0
a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩r u r r r
则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面
内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直
若平面α的法向量为u r ，平面β的法向量为v r ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥r r ，即证0u v ⋅=r r
.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角
已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，
则cos .AC BD
AC BD
θ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
⑵求直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
压延加工
②求法：设直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为u r ，直线与平面所成的角为θ，a r
与u r
的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角
的余角.即有： ⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射
线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.
如图：
②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n u r r 、，再设m n u r r
、的夹角为
ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n u r r
、的夹角ϕ或其补角.πϕ-
根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：
◆如果θ是锐角，则cos cos m n
m n
θϕ⋅==u r r
u r r ，
即arccos m n
m n
θ⋅=u r r u r r ；
主机漏洞扫描◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n
m n
θϕ⋅=-=-u r r u r r ，
O
A
B
O
A
B
l
即arccos m n m n θ⎛⎫
⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭
u r r u r r .
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q 到直线l 距离
若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a r
为直线l 的方向向量，b r =PQ u u
u r ，则点Q 到直线l
距离为 h =⑵点A 到平面α的距离
若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，
平面α的法向量为n r ，则P 到平面α的距离就等于MP u u u r
在法向量n r 方向上的投影的绝对值.
即cos ,d MP n MP =u u u r r u u u u r
⑶直线a 与平面α之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即.n MP
d n
⋅=r u u u r r
⑷两平行平面,αβ之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
即.n MP d n
⋅=r u u u r r
⑸异面直线间的距离
设向量n r
与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP u u u r
在向量n r 方向上投影的绝对值。
即.n MP
d n
⋅=r u u u r r
防御素6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
