正弦定理（一）
典型例题:
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_____1____个．
3．在△ABC中，若,求的值．
解 由条件∴
同理可得∴＝＝
练习:
一、 选择题
1．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．电力网桥
2．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．在△ABC中，，则△ABC一定是（ ）
Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形
解：在△ABC中，∵，∴，由正弦定理，
得。
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
二、填空题
4．在△ABC中，已知且Ｓ△ABC＝ ，则Ｃ＝_______
5．如果，那么△ABC是__等腰三角形_____
三、解答题
6．在△ABC中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC＝４，求的值．
解 由条件Ｓ△ABC＝ ∴
当B为锐角时，由∴
当B为钝角时，由∴
7．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．
解∵Ｂ＝Ａ＋ ∴
又 ∴
∴
∴又∵ ∴
8．在△ABC中，求证：
解：.
1．1．1．正弦定理（二）
典型例题:
1．在△ABC中，已知，则的值为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．在△ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_________
答案：
3．△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求△ABC的面积．
解 设两边夹角为α,而方程的两根
∴∴∴Ｓ△ABC＝
练习:
一、 选择题
1．在△ABC中，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．在△ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( )
Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）
二、填空题
４．在中，已知，那么的形状是一定是等腰三角形___
解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosA反渗透水处理系统sinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．
解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝． ∴＝，即a2＝b2，得a＝b，
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． ５．在△ABC中，已知，Ｓ△ABC＝，则_________
三、解答题
６．已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状
解：由方程两根之积为，方程两根之和为，∴
由正弦定理，得 即
∵ ∴Ａ－Ｂ＝０ ∴Ａ＝Ｂ
∴三角形为等腰三角形
7．在△ABC中，，求sinB的值。
解 由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
由
得
即即
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）
∴
∴
∵ ∴ ∴
∴
8、在,求
（1） (2)若点
解：（1）由
由正弦定理知
（2），
由余弦定理知
9、如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明;
（2）若AC=DC,求的值.
解：(1)．如图3，，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
1．1．2．余弦定理（一）
典型例题:
1．在△ABC中，已知，则△ABC的最小角为（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
２．在△ABC中，已知，则_________
3．在△ABC中，已知，求及面积
解 由余弦定理，知
∴又∵∴∴
玻璃钢蓄水池
练习:
一、 选择题
1．在△ABC中，如果,则角Ａ等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
３在△ABC中，已知则角Ｃ＝（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题
4．已知锐角三角形的边长为1、3、立体绣花，则的取值范围是_________
5、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是120°
6．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_________
三、解答题
7．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, ,求的长.
解：由正弦定理，得 ∵Ａ＝２Ｃ ∴
∴ 又 ∴ ①
由余弦定理，得 ②
1 入②，得 ∴
8．已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及Ｓ△ABC。
解 ，得 X1=, X 2=
∵
∴ 由于△ABC为锐角三角形，∴Ｃ＝
由余弦定理，得
∴ Ｓ△ABC＝
1．1．2．余弦定理（二）
典型例题:
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．非钝角三角形
2、△的三内角所对边的长分别为设向量
, ,若,则角的大小为
(A) (B) (C) (D)
解：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。
3.如图，在中，是边上一点，则.
解：由余弦定理得
可得，
又夹角大小为，，
所以.
练习:
一、 选择题
1．在△中，,,分别是，，的对边，且
则等于 （ ）
A． B． C． D．
２．在△ABC中，若，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形
３．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 不锈钢酸洗
分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．
解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，即又 ，故，
4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．
而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．
二、填空题
４．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４，则ＡＣ＝_________
5. 在△ABC中，已知,Ｓ△ABC＝,则_________
三、解答题
6．在△ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。
解 由余弦定理,知，
∴
7．已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形ＡＢＣＤ的面积
解 如图，连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ△ABD+Ｓ△BCD=
∵A+C=1800 ∴sinＡ= sin C
∴Ｓ＝=16 sinＡ
由余弦定理,知在△ABC中，
在△CDB中, ∴
又∴Ａ＝1200
∴Ｓ＝16sinＡ＝
1．1．3．正、余弦定理的综合应用
典型例题:
例题１．在中，若，则的大小是___________.
解：abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
由余弦定理可解得的大小为.
例题２.在△ABC中，∠Ａ满足条件，则∠Ａ＝_________ ，△ABC的面积等于_______
答案：；
例题3 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
错解：∵A＝60°，b＝1，，又，
∴，解得c＝4。
由余弦定理，得
又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。
正解：由已知可得。由正弦定理，得
。。
例题4. 在△ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，
（１）求∠Ａ的大小；
（２）求的值
解 （１）∵∴
在△ABC中，由余弦定理得
∴∠Ａ＝
（２）在△ABC中，由正弦定理得
∵ ∴
练习:
一、 选择题
１．在△ABC中，有一边是另一边的２倍，并且有一个角是，那么这个三角形（ ）
Ａ．一定是直角三角形 Ｂ．一定是钝角三角形
Ｃ．可能是锐角三角形 Ｄ．一定不是锐角三角形
点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有： 三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。
２．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（ ）
A． B数字媒体播放系统． C． D．
３．已知△ABC中，＝（）成立的条件是（ ）
Ａ． Ｂ．
