社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。医学科学的开展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病爆发或流行，危害人们的安康和生命。本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。 一﹑模型假设
1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数〔这局部人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。〕占总人数的比例。 2.病人的日接触率〔每个病人每天有效接触的平均人数〕为常数λ，日治愈率〔每天被治愈的病人占总病人数的比例〕为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。
二﹑模型构成
在以上三个根本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
在假设1
s(t) + i(t) + r(t) = 1 对于病愈免疫的移出者的数量应为
不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s 〔0s ＞0〕，0i 〔0i ＞0〕，0r =0. SIR 根底模型用微分方程组表示如下：
s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。
三﹑数值计算
在方程〔3〕中设λ=1，μ=0.3，i〔0〕= 0.02，s〔0〕=0.98，用MATLAB软件编程：function y=ill(t,*)
a=1;b=0.3;
y=[a**(1)**(2)-b**(1);-a**(1)**(2)];
ts=0:50;
*0=[0.20,0.98];
[t,*]=ode45('ill',ts,*0);
plot(t,*(:,1),t,*(:,2))
pause
plot(*(:,2),*(:,1))
输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线，初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点，随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时到达最大值，然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.
表1 i(t),s(t)的数值计算结果
董时进四﹑相轨线分析信息监控系统
我们在数值计算和图形观察的根底上，利用相轨线讨论解i〔t〕,s〔t〕的性质。
D = ｛〔s，i〕| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝
耻骨联合
d并注意到σ的定义，可得
在方程〔3〕中消去
t
11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
s σ00|s s i i == 〔5〕 所以：11i s d d ⎛⎫=-
⎪⎝⎭s σ⇒00i 11s i s i s d d ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎰⎰s σ 〔6〕 利用积分特性容易求出方程(5)的解为：000
1
()ln
s
i s i s s σ
=+-=
〔7〕 在定义域D 内,(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示.其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向
下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t →∞时它们的极限值分别记作s ∞, i ∞和r ∞).
1. 不管初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：00i =
2.最终未被感染的安康者的比例是 ，在(7)式中令i=0得到, 是方程 在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s 轴在(0,1/σ)内交点的横坐标
0s >1/σ，则开场有
11i s d o d ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭s σ，i(t)先增加, 令11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
s σ=0，可得当s=1/σ时,i(t)到达最大值： 然后s<1/σ时，有
11i s d o d ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
s σ ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s ∞，如图3中由P1(0s ，0i )出发的轨线
0s ≤1/σ，则恒有
110i s d d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
s σ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s ∞，如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线
可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，则1/σ是一个阈值，当0s >1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ，即提高阈值1/σ使得
0s ≤1/σ(即σ ≤1/0s )，传染病就不会蔓延(安康者比例的初始值0s 是一定的，通常可认为0
s 接近1)。
并且，即使0s >1/σ，从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), m i 降低,
也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中，人们的卫生水平越高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日治愈率μ越大，于是σ越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.
从另一方面看, 1/s s σλμ=•是传染期内一个病人传染的安康者的平均数，称为交换数，其含义是一病人被s σ个安康者交换.所以当 01/s σ≤ 即01s σ≤时必有 .既然交换数不超过1，病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。
五﹑体免疫和预防阿富汗将有新宪法
根据对SIR 模型的分析，当01/s σ≤ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/σ变大以外，另一个途径是降低0s ，这可以通过比方预防接种使体免疫的方法做到.
忽略病人比例的初始值0i 有001s r =-，于是传染病不会蔓延的条件01/s σ≤ 可以表为 这就是说，只要通过体免疫使初始时刻的移出者比例〔即免疫比例〕满足〔11〕式，就可以制止传染病的蔓延。
这种方法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印
度等国天花传染病的接触数 σ=5，由〔11〕式至少要有80%的人承受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高0r ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界铲除。而有些传染病的σ更高，铲除就更加困难。
乙酸丁酯
六﹑模型验证
上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了r
t
d d 的实际数据，Kermack 等人用这组数据对SIR 模型作了验证。
首先，由方程〔2〕，〔3〕可以得到
s r t d d
si si s d dt
λσμσ=-=-=- 1
s r d d s
σ⇒=-t 上式两边同时乘以d 可 ，两边积分得
所以： ()0()r t s t s e σ-= (12) 再0(1)(1)r r
t
d i r s r s
e d σμμμ-⇒
==--=-- (13) 当 1/r σ≤ 时，取〔13〕式右端r e σ-Taylor 展开式的前3项得： 在初始值0r =0 下解高阶常微分方程得: 其中222000(1)2s s i ασσ=-+，01
s th σϕα
-=
从而容易由〔14〕式得出：
然后取定参数 s0, σ等，画出〔15〕式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
七﹑被传染比例的估计
在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是安康者人数比例的初始值0s 与s ∞之差，记作*，即0x s s ∞=- (16)
当i0很小，s0接近于1时，由〔9〕式可得
1
ln(1)0x
x s σ
+
-
≈ (17) 取对数函数Taylor 展开的前两项有
2001(1)02x x s s σ
σ
-
-
≈ (18)
记 01
s δσ
=
+ , δ 可视为该地区人口比例超过阈值
1σ的局部。当 1
δσ
≤时〔18〕式给出00122x s s σδσ⎛
⎫≈-≈ ⎪⎝
⎭ 〔19〕
这个结果说明，被传染人数比例约为δ的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即δ不变时，这个比例就不会改变。而当阈值1
σ
提高时，δ减小，于是这个比例就会降低。
参考文献：
气门间隙
数学模型，姜启源编，高等教育出版社．
数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社(1989)．
