1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求AD
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC 在△ACD和△BDE中
AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2
2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB
3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2蜜饯LH证明：连接BF和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD
EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG防潮纸 又 EF＝CG ∴EF＝AC
5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE
∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）
∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C
6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF
水咀
∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
∵∠EAB=∠BDE，
∴∠AED=∠ABD，
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC，
∴∠F=∠C。
9.已知：AB=CD，∠A=∠机组式柔印机D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：
△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.
10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB
在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
11.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；家庭智能控制
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD
∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE
12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF
AF=AG=5∴DC=CF=2
13.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
解：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC
在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC ∴AD⊥BC
14.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
uwb标签∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB
15.（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
16.如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）
17.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。
证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM
