湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中
oel数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点
C ．梯形一定是平面图形
D ．一条直线和一个点确定一个平面
3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =
，则AB BM ⋅=（ ）
A B ．32 C ．32- D ．12 4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A ．2+
固化闪电之源B ．8
C ．4
D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=
，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则m n （ ）. A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 6．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中
A ．NC 与DE 相交
B ．CM 与ED 平行
C ．AF 与CN 平行
D ．AF 与CM 异面 7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学 校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）
A ．20m
B ．30m
C ．
D ． 8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）
A ．四棱锥11
B A AC
缘114
C -为“阳马”
B ．四面体11A
C CB 为“鳖臑”
C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23
D ．过A 点分别作1A
E A B ⊥于点E ，1A
F AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥
二、多选题
9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ）
A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r ，则a c =
B ．若a b =，b c =，则a c ＝
C ．a b a b -<+
D ．a b a b ⋅≤
10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒
B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//
C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒
D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ 11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）
A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A
B >
B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
三、单选题
12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n +为常数 B ．m n +的最小值为169
C ．2m n +的最小值为3
D ．m 、n 的值可以为12
m =，2n =
四、填空题
13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__
14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．
15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.
五、双空题
16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．
六、解答题
17．已知复数()1z mi m R =+∈，
卫生棉条自动拔除器312z i -+是实数． （1）求复数z ；
不用充电的手电筒（2）若复数0112
z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．
亚克力灯箱制作（1）若θ＝34
π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2
π
θ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．
19．在①sin sin sin sin
b A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B
c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题. 已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；
（2）求a b +的取值范围.
(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.
（1）求证：平面//CMN 平面PAB ；
（2）求三棱锥A CMN -的侧面积.
21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.
（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？
（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A
