一、结论
1、椭圆中焦点三角形面积公式
在椭圆22
221x y a b +=(0a b >>)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,
12F PF θ∠=,12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：
①12121
||||||2
PF F p p S F F y c y ∆== ②12121
|||||sin 2
PF F S PF PF θ∆=
③122
tan
2
PF F S b θ
∆=，其中12F PF θ=∠.
在双曲线22
221x y a b −=(0a >,0b >)中,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,
12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12PF F S ∆，则：
①12121
||||||2
PF F p p S F F y c y ∆== ②12121
|||||sin 2
PF F S PF PF θ∆=
③
122tan
2
PF F b S θ∆=
注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线
的定义，余弦定
理，基本不等式等综合应用.
二、典型例题
1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知1F 、2F 是椭22:143
x y
C +
=圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积是（ ）
A ．3
B ．2
C D 【答案】D 【详解】
由椭圆22
:143
x y C +=的方程可得24a =，23b =，1c =，则1224PF PF a +==，
因为1260F PF ︒
∠=，则222
1212122cos60PF PF PF PF F F +−⋅=，
即()2
2
1212123PF PF PF PF F F +−⋅=，即121634PF PF −⋅=，解得124PF PF ⋅=，
因此，12
1211sin60422PF F S
PF PF =⋅=⨯故选：D.
另解：根据焦点三角形面积公式，求122
tan
2
PF F S b θ
∆=，其中12F PF θ=∠
，由题意知
23b =，6
π
θ=
，代入122
tan
3tan
2
6
PF F S b θ
π
∆==⋅=【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论， 122tan
2
PF F S b θ
∆=要特别注意记忆12F PF θ=∠表示的是哪个角.
2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P 是椭圆()22
2210x y a b a b +=>>上一动点，1F
，
2F 是椭圆的左、右焦点，当123
F PF π∠=
时，12F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上
时，124tan 3
F PF ∠=
，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（ ）
A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【详解】
设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123
F PF π∠=
时，由椭圆的定义，余弦定理得：
()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+−=⎪
⎩
整理得：2
4
3b mn =
由三角形的面积公式得：12
1sin 23F PF S mn π==△，解得：212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12F
F 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥.
由124
tan 3F PF ∠=
，
得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 代入椭圆标准方程得：22
22914c c a b
+=.
又有2
2
2
12b a c =−=，解得：2
2
16,4a c ==，所以椭圆标准方程为：22
点火装置11612
x y +=.
所以8m n +=.
因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤.
所以
1211118m n PF PF m n mn mn
++=+==. 因为()()2
288416mn m m m m m =−=−+=−−+， 当26m ≤≤时，1216mn ≤≤， 所以
1211812.23PF PF mn ⎡⎤
+=∈⎢⎥⎣⎦
. 故选：A.
另解：根据焦点三角形面积公式，求122
tan
2
PF F S b θ
∆=，其中12F PF θ=∠，由题意知
3
π钢骨架塑料复合管
θ=
，代入公式122
22tan
tan
122
6
PF F S b b b θ
π
∆=⇒=⇒=，又当线段1PF 的中点
落到y 轴上时，124
tan 3F PF ∠=胶管缠绕机
，可知122F F P π∠=，从而有32n c =，52
m c =，且2
12b n a a ==，进一步有：24431222
a c
a c c a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨
==⎩⎪⎩所以椭圆标准方程为：22
水过滤板
11612x y +=. 所以8m n +=.
因为a c m a c −≤≤+，所以26m ≤≤
.
所以
1211118m n PF PF m n mn mn
++=+==. 因为()()2
288416mn m m m m m =−=−+=−−+， 当26m ≤≤时，1216mn ≤≤， 所以
1211812.23PF PF mn ⎡⎤
+=∈⎢⎥⎣⎦
. 故选：A.
【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
−=>>，过
nfj金属防静电不发火原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为22a ，则双曲线的离心率为（ ） A
B
C ．2
D
【答案】B 【详解】
解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ， 所以AF BF ⊥，圆心为()0,0O ，半径为c ，
根据双曲线的对称性可得四边形AFBF '是矩形，设||AF m =，||BF n =，
则222
2241
22
n m a n m c mn a ⎧
⎪−=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，由()2222n m m n mn −=+−可得222484c a a −=， 所以2
2
3c a =，所以2
2
23c e a
==
，所以e 故选：B.
另解：解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ，
所以2
2AF F S a '∆=，且2
F AF π
'∠=
，根据双曲线焦点三角形面积公式：
122tan
2
PF F b S θ
∆=
得：222a b =，结合222c a b =+
，得222222233a c a c a e e =−⇒=⇒=⇒=
【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即||||||2AF AF a '−=，结合
余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式
122tan
2
PF F b S θ∆=
.
4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C ：2
2
14
y x −=的左、右焦点分别为12,F F ，
点P 双曲线C 右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △的面积为S ，则下列选项正确的是（ ）
A ．若60θ=︒，则S
＝B ．若4S =
，则2PF =C ．若12PF F △
为锐角三角形，则S ∈
D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22
919143y x x ⎛
⎫−=> ⎪⎝
⎭ 【答案】ACD 【详解】
由2
2
14
y x −=，得221,4a b ==
，则1,2,a b c ==焦点三角形12PF F 的面积公式
24tan
tan
2
2
b S θ
θ=
=
，将60θ=
代入可知S =，故A 正确．
当S ＝4时，90θ=，由122221
2122
PF PF PF PF F F ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，可得
22PF =，故 B 错误． 当1290F PF ∠=时，S ＝4，当2190PF F ∠=
时，S =，因为12PF F △
为锐角三角形，所以干墙
S ∈，故C 正确．
