习题
15.1. 式（15.15）给出了瑞利连续随机变量的概率密度函数，
（a）求其概率分布函数（该函数定义见1.5.1节）。
（b）信号在无线移动信道中受到瑞利衰落，应用概率分布函数，求出信号比均方根值少15dB的概率。 （c）重复（b），求出信号比均方根值少5dB的概率。
（a）常考书中瑞利分布的PDF(式15.5)，我们可以写出
利用指数函数的积分特性
（b）已知均方根时延拓展(RMS)取。本题中，在该RMS值下的信号级为-15dB:
-15dB
毛毯清洗剂
套用（a）中结果可知
此概率为0.09995%
（c）已知均方根时延拓展(RMS)取。本题中，在该RMS值下的信号级为-5dB:
套用（a）中结果可知
此概率为9.52%
15.2. 信号在一个无线移动系统受到时延，码元速率R s=10ksymbols/s，信道平均超量延迟为10μs，而超量延迟的二阶矩为1.8×10-10s2。
（a）计算相干带宽f0，在该频率间隔内，信道复频率传递函数的相关系数至少为0.9。 （b）重复（a），要求相关系数至少为0.5。
（a）首先，必须要计算RMS：
根据相关系数至少为0.9的相干带宽公式所得
（b）根据相关系数为0.5的相干带宽公式所得
（c）假定带宽等于码元速率20KHz。利用(b)中结果计算的致密散射信道模型(相关系数为0.5)。然而如此接近w使得可能产生频率选择性衰落。
15.3.分析某一信道，其功率谱密度函数由3个冲击函数组成，相关的功率和时延分别为：-20dB，0μs；0dB，2μs；-10dB，3μs。
模具特氟龙（a）计算平均超量延迟。
（b）计算二阶矩超量延迟。
（c）计算rms时延扩展。
（d）估计相干带宽f o（相应的相关系数至少为0.9）。
挺腰器>r22压焓图
（e）若接收器位于以800km/小时航行的飞机上，经历半个波长需时100μs，试估计相干时间。
（a）通过下式计算平均超量延时：
（b）通过下式计算二矩超量延时：
（c）通过下式计算rms时延拓展：
（d）通过下式计算相关系数为0.9的相干带宽：
（e）依题半个波长的时间是100，可以大致估算相干时间。接收器本身的时速是800km/hr，
即222.2m/s 。因而，传输频率可算得
15.4. 一个无线移动系统，载频f c =900MHz ，多普勒频率f d =50KHz ，假定采用致密散射模型。 （a ）在f c ± f d 范围内画出多普勒功率谱密度S (v )（大约用10个点）。
（b ）解释为什么S (v )在边界处有响应。
（c ）估计相干时间T 0，假定信道对正弦波响应的相关系数至少为0.9。
(a) 下面展示的是一个MATLAB 做的连续的多普勒能量谱密度图。这个方程是关于载频c f 对称的，并且在c d f f ±之外等于零。
b) S(v)在边界有响应，是因为一个车载天线在密集的散射体散射模型中行驶产生的多普勒漂移有一个上限。
c) 由于这个例子对正弦的响应有一个大于0.5的修正，在时间相干性和所给的普勒在50Hz 时代散射大约是： 099 3.6161650
d T ms f ππ==⨯ 15.5. 分别采用一种技术缓和下列的衰落情况，并给出数据说明。
（a ）频率选择性的快衰落。
（b ）频率选择性的慢衰落。
（c ）平坦的快衰落。
（d ）平坦的慢衰落。
(a)频率选择性和快速衰退的特征是信道信号带宽超过了这个信道的相关带宽，并且快速衰退率超过了码率。一个高频信道以低数据速度发送电报，有一个很窄的相关带宽，在历史上还是第一次被发现。因此，我们对与符号率相关的快速衰退性很有兴趣，非常缓慢的信号传输速率是快速衰减消退的根本原因。
(b)频率选择性和慢衰落的特点是，信道的信号带宽超过了信道的相干带宽，符号率超过了衰减率。满足这个原理的一个现实应用就是蜂窝电话信道。举个例子，在GSM 系统中，信号率在271k sysmbos/s，一个典型的信道带宽是在100K Hz 以下。码元的持续时间在3，69us 左右，对于一个900M Hz 载频和以100km/h 的速度行驶来说，相关时间差不多5-6ms 。因此，在一个区间内有超过1000个码元被传输了。
(c)平坦衰落和快衰落有如下的特点：信道的相关带宽超过了信号带宽，并且衰减率超过了码元传输率。符合这个原理的一个应用就是一个有比较小的多路径延时扩散（大信道相关带宽）的低速率系统。
这个可以在用一个在荒漠上高速移动的车辆上低速率传输系统来代替，或者用在一个快速移动的室内传输带来代替。
(d)平坦衰落和慢衰落有如下的特点：信道的相关带宽超过了信号带宽，码元传输率大于衰退率。符合这个原理的一个例子是室内（较低的多路径延时衰退扩散）高速率传输系统。在这种情况下，数据率不需要非常大，如果我们推定最快的移动速度是人的走了速度。 15.6.（a ）以rms 时延στ来表征信号的功率密度函数，以衰减带宽f d 来表征的多普勒功率谱密度函数，二者关系如何？
（b ）以相干带宽f 0来表征空间-频率相关函数，以相干时间T 0来表征空间-时间相关函数，二者关系如何？
(a)延时扩散和多普勒扩散的方程是彼此对偶的。如果他们的数学关系是相同的，即使它们用不同的元素来描述的，那么两个进程（方程，元素或者系统）是对偶的。在这里，由于以前的和后来的关于信号频率扩散的知识领域，多普勒功率谱密度S(v)可以被当成两元的多路径密度分布，S(τ)。
(b)在这里，我们可以通过空间-频率相关方程，R(f ∆)，和通过空间-时间相关方程R （t ∆）描述的时变机理。R(f ∆)关于频率变化的接受信号的两个频谱分量对幅度和相位有强烈的潜在的相关性。R （t ∆）关于接受到的信号的时间的跨度有强烈潜在的幅度和相位的相干性。
15.7. 一个室内窄带移动通信系统，其功率密度函数由4个冲击函数组成，相关的功率和时延为：0dB ，0ns ；-3dB ，100ns ；-3dB ，200ns ；-6dB ，300ns 。若不使用均衡器，该系统的最大传输码元速率是多少？若频率单音间的相关系数至少为0.9，求其相干带宽。
15.8. 一个无线移动通信系统，采用QPSK 调制，速率为24.3 k 码元/s ，载频为1900 MHz 。由于多普勒频谱扩展而造成的信号相位改变Δθ不超过5º/码元，该系统能够允许的最大移动速率是多少km/hr ？三爪卡盘结构
15.9. 为了提供有效的时间分集，交织器的交织跨度T IL 一般至少应是信道相干时间T 0的10倍。分别对以下手机使用位置画出T IL 与频率的关系图（在3个频率点上：300MHz ，3GHz ，30GHz ）。 （a ）以1m/s 速度行走的行人。
（b ）以50m/s 飞驰的火车。
终端准入系统（c ）若进行实时话音通信，采用交织跨度T IL 是信道相干时间T 0的10倍的交织器，则所画图中的6个点中哪个点可以获得有效的时间分集？
（d ）可以得出什么结论？
15.10. 传输信号的带宽为5 KHz ，传输信道的相干带宽为50 KHz ，显然这是一个平坦衰落信道，解释为什么这样的信道有时会表现出频率选择性衰落？
对于W f >0（或s m T T <）的平坦衰落，图15.9b 描绘了一般情况下的平坦衰落情况。然而，
当无线移动接收机改变位置是，虽然W f >0，接收信号也会出现频率选择性衰落失真。如图15.9c 所示，信号传递函数在接近传输信号的频谱密度函数中心处会出现零值。这种情况的发生时由于低频成分严重衰减，基带脉冲信号严重受损。这种损失的后果就是不能得到可靠的脉冲尖峰，以获得建立时间同步的信息或载波的相位信息。所以，平坦衰落（基于rms 关系）信号有时也会出现频率选择性衰落。一个归类为平坦衰落的无线移动信道，不会在所有时刻都表现为平坦衰落性。当0f 比W 大得多（或m T 比s T 小得多）时，图15.9c 情况出现的可能性比较少。通过比较可知，图15.9a 的衰落与信号带宽位置无关，频率选择性衰落会在任何时候发生而不是偶尔才发生。
15.11. 分析TDMA 无线移动系统，载频f c =1900 MHz ，在一高速列车（180km/hr ）上，为了了解信道的冲击响应以进行均衡，每个用户的传输信号序列都包含训练码和信息码，要求训练码为20比特，且不超过整个码序列的20%，并且这些训练码应嵌入信息码当中（至少每T 0/4秒）。假定采用二进制调制，那么不出现快衰落的最小传输速率是多少？
λ/5.05.00V f T d =≈ m 1579.010
*9.110*368==λ s m s m T 3010*579.11579.0/)/50(5.0-=≈ s T 4010*9475.34-=
训练的序列必须在每s 410*9475.3- 被接受。因为训练序列为20bit ，且不超过整个比特序列的20%，故，最小传输速率为4/0T s 内传输100比特，或者是s kbits s
bits R /3.25310*9474.31004==-。如果比特速率更低，则接收20bit 的训练序列的时间将大于4/0T s 。
15.12.（a ）日本在1980年代后期提出一种数字便携式电话系统（PHS ），其载频跨度为300KHz ，问这样一个系统在时延约为300ns 的信道上是否会出现频率选择性衰落？
（b ）欧洲数字无绳电话系统（DECT ）适用于高交通强度和小范围（如室内）情况，该系统的载频跨度为1.728 MHz ，rms 时延扩展约为150ns ，问在DECT 的接收机中是否需要均衡器？
（a ）频率选择性衰落的条件是W f <0，信道的相干带宽比信号带宽小，信道间隔能达到信号带宽的最大值W=300kHz 。计算相干带宽过程如下：
kHz f 66710*300*5151
9
0==≈-τσ W f >0时，信道为非频率选择性。
