1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b，c 表示 2u-3v. 解 2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平
行四边形.
证 如图 8-1，设四边 形 ABCD中 AC 与 BD 交于 M ，已知
AM=MC ，DM MB .
故
AB AM MB MC DM DC.
即AB // DC 且| AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD是平行四边形.
3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为 D1，D2，D3，D4，再把各
分点与点 A连接.试以 AB=c, BC =a 表向量 D1A, D2 A, D3 A, D A 4 | | . |
| | |
证 如图 8-2，根据题意知
| 1 BD a, 1 5 | | 1 D1D a, 2 5 | | 1 D2D a, 3 5udn |
| | | | | |
1
D3D a,
4
5
故D A 1 =-（ AB BD1 ）=- | | 1 5 | | a- c |
| | | | |
| D2 A=-（ AB BD2 ）=- | | 2 5 | | a- c |
| D3 A=-（ AB BD3 ）=- | | 3 5 | | a- c |
| D | | 4 | | A =-（ | | AB BD ）=- 4 | | 4 5 a- c. |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
4. 已知两点 M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示 向量无叶风扇控制器 M1M 2 及-2 M1M 2 .
解 M1M 无绳电熨斗2 =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.
-2M1M 2 =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.
5. 求平行于向量 a=（6，7，-6）的单位向量 .
| 解 向量 a 的单位向量 为 | | a a | | ，故平行向量 a 的单位向量为 |
| a a | | = | | 1 （6，7，-6）= 11 | | 6 7 , , 11 11 | | 6 11 | | ， |
| | | | | | | | | | | | | | | | | |
2 2 2
其中 a 6 7 ( 6) 11.
6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，
-3，1）.
解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C点在第八卦限， D 点
在第三卦限 .
7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置：
A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D （0，
-1，0）.
解 在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中
至少有一个为零，比如 xOy 面上的点的坐标为（ x0，y0，0），xOz面
上的点的坐标为（ x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（ 0，y0，z0）.
在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零，比如 x 轴上的点的坐标为（ x0，0，0），y 轴上的点的坐
标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（ 0，0，z0）.
A 点在 xOy 面上， B 点在 yOz面上，C点在 x 轴上，D 点在 y 轴
上.
8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原
点的对称点的坐标 .
解 （1）点（a，b，c）关于 xOy 面的对称点（ a，b，-c），为
关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于 zOx面的对称点为（ a，-b，
c）.
（2）点（a，b，c）关于 x 轴的对称点为（ a，-b，-c），关于 y
轴的对称点为（ -a，b，-c），关于 z 轴的对称点为（ -a，-b，c）.
高压电源设计（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（ -a，-b，-c）.
9.自点 P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各
垂足的坐标 .
解 设空间直角坐标系如图 8-3，根据题意，P0核桃夹子F 为点 P0 关于 xOz
面的垂线，垂足 F 坐标为 (x0，0，z0）；P
0D 为点 P0 关于 xOy 面的垂
线，垂足 D 坐标为 ( ， ，0）
x磁卡电表0 y ；P0E为点 P0 关于 yOz面的垂线，垂
0
