茶油精学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.
知识点一 双曲线的几何性质
思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.
梳理
图形
性范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
知识点二 双曲线的离心率
思考 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
首饰焊接答案 双曲线x2a2－y2b2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于ba的值，设e＝ca，则ba＝c2－a2a＝e2－1.
当e的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.
梳理 定义：双曲线的焦距与实轴长的比e＝ca，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e的取值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.
知识点三 双曲线的相关概念
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为2. 1.等轴双曲线的离心率是1.( × )
2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × )
3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( × )
4.方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x.( × )
例1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
考点 双曲线的几何性质
题点 由双曲线的方程研究几何性质
解 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为y24－x212＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝23，
∴c＝a2＋b2＝16＝4，
∴双曲线的实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝43；
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为y＝±33x；离心率e＝2.
反思与感悟 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
考点 双曲线的几何性质
题点 由双曲线的方程研究几何性质
解 将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，
即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－13，0)，(13，0)；
单向离合器轴承
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝ca＝133；
渐近线方程为y＝±ba x＝±23x.
类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为54；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程.
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
解 (1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，ca＝54，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
楔形塞尺∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.
(2)设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝»(»≠0).
当»>0时，a2＝4»，∴2a＝24λ＝6⇒»＝94；
当»<0时，a2＝－9»，∴2a＝2－9λ＝6⇒»＝－1.
∴双曲线的标准方程为x29－y2814＝1或y29－x24＝1.
(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝»(»≠0).
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得»＝222－(－2)2＝－2，煤气化炉
∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.
反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求
出a，b，写出方程.
(2)①与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(»≠0，－b2<»<a2)；
②与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝»(»≠0)；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝»(»≠0).
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；
(2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝103；
(3)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3).
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又ca＝135，∴a＝5，b＝c2－a2＝12，
故所求双曲线的标准方程为y225－x2144＝1.
(2)由e2＝109，得c2a2＝109，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为x29k－y2k＝1，①
或y29k－x2k＝1.②
将(3,92)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,92)代入②，得k＝9.
故所求双曲线的标准方程为y281－x29＝1.
(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②
联立①②，无解.
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线方程为x222－y2＝»(»≠0).
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴2222－(－3)2＝»，即»＝－8.
故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.
类型三 求双曲线的离心率
例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率：
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±32x；
(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c.
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
解 (1)若焦点在x轴上，则ba＝32，
∴e＝b2a2＋1＝132；
若焦点在y轴上，则ab＝32，即ba＝23，
∴e＝b2a2＋1＝133.
综上可知，双曲线的离心率为132或133.
(2)依题意得直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为34c，得aba2＋b2＝34c，
即ab＝34c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴3(b2a22－10×b2a2＋3＝0.
解得b2a2＝13或b2a2＝3.
又∵0<a<b，∴b2a2＝3，∴e＝1＋b2a2＝2.
反思与感悟 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值.而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方
程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性.
跟踪训练3 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为________.
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 54或53
解析 若焦点在x轴上，则ba＝34，
∴e＝b2a2＋1＝54；
若焦点在y轴上，则ab＝34，即ba＝43，
∴e＝b2a2＋1＝53.
综上可知，双曲线的离心率为54或53.
(2)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e＝________.
考点 双曲线的几何性质
题点 求双曲线的离心率
答案 32
解析 因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，
所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，
所以a＝2，所以e＝ca＝32.
1.双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y＝－2x，则双曲线方程
为____________.
考点 双曲线性质的应用
题点 由双曲线的几何性质求方程
答案 x2－y24＝1
解析 由题意知a＝1，又ba＝2，
∴b＝2，∴双曲线方程为x2－y24＝1.
2.设双曲线x2a＋y29＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝________.
考点 双曲线性质的应用
题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题
皮革加工答案 －4
解析 ∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为y29－x2－a＝1，
∴渐近线方程为y＝±3－a x，
∴3－a＝32，解得a＝－4.
