Matlab下IIR滤波器实现（Simulink仿真和C语⾔实现）
经典滤波器和现代滤波器
⼀般滤波器可以分为经典滤波器和现代滤波器。
1. 经典滤波器：假定输⼊信号中的有⽤成分和希望去除的成分各⾃占有不同的频带。如果信号和噪声的频谱相互重迭，经典滤波器⽆能 为⼒。⽐如 FIR 和 IIR 滤波器等。
2. 现代滤波器：从含有噪声的时间序列中估计出信号的某些特征或信号本⾝。现代滤波器将信号和噪声都视为随机信号。包括 Wiener
Filter、Kalman Filter、线性预测器、⾃适应滤波器等
在连续系统中采⽤拉普拉斯变换求解微分⽅程，并直接定义了传递函数，成为研究系统的基本⼯具。在采样系统中，连续变量变成了离散量，将Laplace变换⽤于离散量中，就得到了Z变换。和拉⽒变换⼀样,Z变换可⽤来求解差分⽅程，定义Z传递函数成为分析研究采样系统的基本⼯具。 对于⼀般常⽤的信号序列，可以直接查表出其Z变换。相应地，也可由信号序列的Z变换查出原信号序列，从⽽使求取信号序列的Z变换较为简便易⾏。
Z变换有许多重要的性质和定理：
线性定理
设a，a1，a2为任意常数，连续时间函数f(t)，f1(t)，f2(t)的Z变换分别为F(z)，F1(z)，F2(z)，则有
Z[a*f(t)]=aF(z)
Z[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1F1(z)+a2F2(z)
滞后定理
设连续时间函数在t<0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z[f(t−kT)]=z^−k * F(z)
IIR滤波器常见的结构形式有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型（典范型）、级联型、并联型。通过差分⽅程能够画出包含反馈结构的数字⽹络称为直接型。
直接Ⅰ型滤波器的⽹络结构可以根据差分⽅程很直观地画出（The Direct-Form I structure implements the feed-forward terms first followed by the feedback terms）：
可以看出直接Ⅰ型滤波器需要N+M个延时单元（N≥M）。直接Ⅱ型结构是对直接Ⅰ型的变型，将上⾯⽹络的零点与极点的级联次序互换，并将延时单元合并。实现N阶滤波器只需要N个延时单元（The Direct-Form II structure uses fewer delay blocks than Direct-Form I），故称为典范型。
直接Ⅱ型看上去不那么直观，可以通过下图进⾏理解。我们可以将整个滤波器系统看成A、B两个⼦系统串联⽽成，由于为线性系统因此交换顺序不影响最终输出结果，传递函数可写为：
H(z)=B(z)*1/A(z)=1/A(z)*B(z)
直接型优点：直接型结构简单，⽤的延迟器较少（N和M中较⼤者的个数）；缺点：系数ak，bk对滤
波器性能的控制关系不直接，因此调整不⽅便；具体实现滤波器时ak，bk的量化误差将使滤波器的频率响应产⽣很⼤的改变，甚⾄影响系统的稳定性。直接型结构⼀般⽤于实现低阶系统。
级联型：将系统传递函数H(z)因式分解为多个⼆阶⼦系统，系统函数就可以表⽰为这些⼆阶⼦系统传递函数的乘积。实现时将每个⼆阶⼦系统⽤直接型实现，整个系统函数⽤⼆阶环节的级联实现。
并联型：与级联型类似，⽤部分分式展开法将系统函数表⽰为⼆阶⼦系统传递函数的和。每个⼆阶⼦系统仍然⽤直接型实现，整个系统函数⽤⼆阶环节的并联实现。
FDATool⼯具
在IIR滤波器设计过程中，通常利⽤模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数
H(s)，然后由H(s)经变换得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常⽤的变换⽅法有冲激响应不变法和双线性变换法。下⾯使⽤MATLAB等⼯具直接⽣成数字滤波器系数：
在MATLAB命令⾏中输⼊fdatool打开滤波器设计⼯具箱，为了便于分析，我们先从设计⼀个简单的2阶低通滤波器。Design Method ⽤于选择IIR滤波器还是FIR滤波器，这⾥我们选择IIR滤波器，类型选择Chebyshev TypeII，当然也可以选择其他类型，不同类型的频率响应不同，选择后默认的滤波器结 构是直接II型。ResponseType⽤于选择低通、⾼通、带通、带阻等类型，选择低通滤波“Lowpass”。Frequency Specifications⽤于设置采样频率以及截⽌频率，这⾥填⼊Fs = 10 Fpass = 1，Fstop = 4 即采样率为10Hz，1Hz以上的频率将被滤除掉。Fiter Order 选择滤波器阶数，为了简单起见，先选择⼀个2阶滤波器做实验。
参数设置好后点击Design filter按钮，将按要求设计滤波器。默认⽣成的IIR滤波器类型是Direct-Form II,Second-Order
Sections（直接Ⅱ型，每个Section是⼀个⼆阶滤波器），在⼯具栏上点击Filter Coefficients图标或菜单栏上选择Analysis→Filter Coefficients可以查看⽣成的滤波器系数。菜单栏上选择Edit->Convert Structure 可以查看滤波器结构类型 Direct-Form II SOS。
MATLAB中⼆阶滤波器差分⽅程公式如下（注意反馈项符号为负号）：
y[n]=b0⋅x[n]+b1⋅x[n−1]+b2⋅x[n−2]−a1⋅y[n−1]−a2⋅y[n−2]
如上图Section的公式如下
y[n] = x[n] + 1.9390984655⋅x[n−1]+x[n−2] - (-0.654227)⋅y[n−1]−0.123235⋅y[n−2]
滤波器设计完成后还可以⽣成Simulink模型进⾏仿真：按照下图中数字标号进⾏，第⼀步点击左边Realize Model图标，第⼆步勾
选“Build model using basic elements”这⼀项，右边四个灰⾊的项将⾃动打钩，最后点击“Realize Model”，matlab将⾃动⽣成滤波器模型，在弹出的窗⼝中双击模型可以观察该模型的内部结构。
下⾯是直接Ⅱ型的内部结构
Simulink仿真
使⽤⽣成的滤波器搭建⼀个简答的测试模型：将两个幅值为1，频率分别为 0.5Hz 和 3Hz正弦波信号，数字量化0.1秒解算器步长 0.1 ，时间 10秒（下图为100秒）
