第一章 摘要
本设计采用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器，所以在根据脉冲响应不变法设计出来的IIR数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性；数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好，但容易产生频谱混叠现象，只适合低通和带通滤波器的设计，不适合高通和带阻滤波器的设计。 关键词：数字滤波器；脉冲响应不变法；频率混叠
第二章 引言
数字滤波器可以满足滤波器对幅度和相位特性的严格要求，精确度高，有高度的可编程性，灵活性好，并且它没有电压飘移、温度漂移及噪声等问题，基本不受环境影响，稳定性好等。正是由于数字滤波器的以上优点，使得数字滤波器广泛应用于语音处理、图像处理、模式识别、频谱分析、医学仪器等领域。
第三章 设计原理
数字滤波器
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。
数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:
其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
脉冲响应不变法
脉冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法。它特别适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。
脉冲响应不变法的核心原理是通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。
一个模拟滤波器的传递函数可以用有理分式表达式表示为：
（3-1）
通过反拉普拉斯变换我们就可以得到它的冲激相应：
（3-2）
脉冲响应不变法就是要保证脉冲响应不变，即：
（3-3）
对上式的冲激相应序列作变换，就可以得到数字滤波器的传递函数：
（3-4）
一般来说，的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。假定的没有多重极点，则式（1）就可分解为：
（3-5）
式中，均为复数，是的极点。其拉氏变换为
一般来说，的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。数字滤波器的传递函数H(z)经过合并简化，成为一般形式的有理分式传递函数
(3-6)
在讨论采样序列z变换与模拟信号拉氏变换之间关系的有关章节中，我们已经知道
(3-7)
按照z=的关系，每一个s平面上宽度为/T的水平条带将重迭映射到z平面上。因此脉冲响应不变法将s平面映射到z平面，不是一个简单的一一对应的关系。对于高采样频率(T小)的情况，数字滤波器在频域可能有极高的增益。为此我们采用
(3-8)
(3-9)
在脉冲响应不变法设计中，模拟频率与数字频率之间的转换关系是线性的()。同时，它可以保持脉冲响应不变， =。因此，这一方法往往用于低通时域数字滤波器设计及相应的模拟系统数字仿真设计。
巴特沃斯低通滤波器
巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。
一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。
（3-10）
上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上。
因此，极点用下式表示为
(3-11)
的表示式：
(3-12)
为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截止频率归一化，归一化后的系统函数为
(3-13)
令,称为归一化频率，称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为
(3-14)
式中，，为归一化极点，用下式表示:
(3-15)
第四章 设计过程
利用模拟滤波器来设计IIR低通数字滤波器是常用的方法，称之为模拟一数字转换法。
设计步骤
利用在MATLAB设计IIR数字滤波器可分以下几步来实现
(1)按一定规则将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；
(2)根据转换后的技术指标使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N和截止频率Wc；
(3)利用最小阶数N产生模拟低通滤波原型；
(4)利用截止频率Wc把模拟低通滤波器原型转换成模拟带通原型；
(5)利用冲激响应不变法或双线性不变法把模拟滤波器转换成数字滤波器。
频率混叠现象
数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。 即
(4-1)
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想）， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果
图 脉冲响应不变法的频率混叠现象
总结以上，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即W= ，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。
其缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响。脉冲响应不变法适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。
第五章 程序设计
设计巴特沃斯模拟滤波器
5.1.1 模拟滤波器设计程序
clear
Fs=1000; %采样频率为周期倒数
Wp=200*pi;
Ws=600*pi; %设置归一化通带和阻带截止频率
Ap=3;
As=20; %设置通带最大和最小衰减
[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数
[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %调用butter函数设计巴特沃斯滤波器
W=(0:pi:1000*pi); %指定一段频率值
hs=freqs(B,A,W); %计算模拟滤波器的幅频响应
plot(W/pi/2,abs(hs)/abs(hs(1))); %绘出巴特沃斯模拟滤波器的扶贫特性曲线
grid on;
title('巴特沃斯模拟滤波器');
xlabel('频率 /Hz');
ylabel('归一化幅值 ');
5.1.2 用分贝显示幅值
clear
Fs=1000; %采样频率为周期倒数
Wp=200*pi;
Ws=600*pi; %设置归一化通带和阻带截止频率
Ap=3;
As=20; %设置通带最大和最小衰减
[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数
[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %调用butter函数设计巴特沃斯滤波器
W=(0:pi:1000*pi); %指定一段频率值
hs=freqs(B,A,W); %计算模拟滤波器的幅频响应
hs0=abs(hs)/abs(hs(1))
