2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷II新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝( )． A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．．{－3，－2，－1}
2．
2
1i
＝( )．
A．22 B．2 C．2 D．．1
3．设x，y满足约束条件
10,
10,
3,
x y
x y
x
则z＝2x－3y的最小值是( )．
A．－7 B．－6 C．－5 D．－3
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，
π
6
B，
π
4
C，则△ABC的面积为( )．
A．23+2 B．3+1 C．232 D．31
5．设椭圆C：
22
22
=1
x y
a b
(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
则C的离心率为( )．
A．
3
6 B．
1
3 C．
1
2 D．
3
3
6．已知sin 2α＝2
3
，则2
π
cos
4
＝( )．
A．1
6 B．
1
3 C．
1
2 D．
2
3
7．执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝( )．
A．
111
1+
234 B．
111
1+
232432
C．
1111
1+
2345 D．
1111
1+
2324325432
8．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )．
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，
(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )．
A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝
3
(1)
3
x
或y＝
3
(1)
3
x
C．y＝
3
(1)
3
x
或y＝
3
(1)
3
x
D．y＝
2
(1)
2
x
或y＝
电梯运行检测平台2
(1)
2
x
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
12．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )．
A．(－∞，＋∞） B．(－2，＋∞） C．(0，＋∞） D．(－1，＋∞）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是__________．
14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD＝__________.
15．已知正四棱锥O－ABCD的体积为32
2
，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面
积为__________．
16．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π
2
个单位后，与函数y＝
π
sin2
cap3
3
全自动发酵烘干房x的图
像重合，则φ＝__________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． (本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋,＋a3n－2.
18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每 1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率．
20． (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22在y轴上截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为
2
2
，求圆P的方程．
21． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：
2cos,
2sin
x t
y t
(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，
M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤1
3
；
(2)
222
a b c
b c a
≥1.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷II 新课标)
玻璃磨边第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：C
解析：由题意可得，M ∩N ＝{－2，－1,0}．故选 C. 2．答案：C 解析：∵21i
＝1－i ，∴
21i
＝|1－i|＝
2.
3．
答案：B
解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为
23
3
z y
x
，先画出l 0：y ＝
23
x ，当z 最小时，直线在y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点
C ，由
3,10,
x x
y 可得C (3,4)，
老化电阻代入目标函数得，z min ＝2×3－3×4＝－ 6.
4．
答案：B
解析：A ＝π－(B ＋C )＝ππ7ππ6
4
12
，
由正弦定理得
sin sin a b A
B
，
则
7π2sin
sin 1262πsin sin
6
b A a
B养蜂专用车
，
∴S △ABC ＝112sin 2(62)
312
2
2
ab C .
5．
答案：D
解析：如图所示，在Rt △PF
1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF
1|＝2x ，由tan 30°＝
212||
3
||
23PF x F F c ，得23
3
x c . 而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝3x ，
∴332
a
x c ，∴33
3c
c e
a
c
. 6．
答案：A
解析：由半角公式可得，
2
πcos
4
