模型一：手拉手模型
（二）有公共顶点的等腰直角三角形
（三）顶角相等的等腰三角形
例1
1. [问题提出]
（1）如图均为等边三角形，点分别在边上．将绕点沿顺时针方向旋转，连结．在图中证明．
[学以致用]
（2）在的条件下，当点在同一条直线上时，的大小为 度．
[拓展延伸]
（3）在的条件下，连结．若直接写出的面积的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）60或120；（3）
【解析】
【分析】（1）运用SAS证明即可；
（2）分“当点在线段上”和“当点在线段的延长线上”两种情况求出的大小即可； （3）分别求出的面积最大值和最小值即可得到结论
【详解】（1）均为等边三角形，
，，
，
即
在和中
；
（2）当在同一条直线上时，分两种情况：
①当点在线段上时，如图，
∵是等边三角形，
，
，
由（1）可知，，
，
②当点在线段的延长线上时，如图，
是等边三角形，
，
由（1）可知，
，
综上所述，的大小为或
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（3）过点A作于点F，当点D在线段家庭自制黄豆芽机AF上时，点D到BC的距离最短，此时，点D到BC的距离为线段DF的长，如图：
是等边三角形，，
，
此时；
当D在线段FA的延长线上时，点D到BC的距离最大，此时点D到BC的距离为线段DF的长，如图，
是等边三角形，，
，，
此时，；
综上所述，的面积S 取值是
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定． 变式1
2. （1）如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是 ． （2）将图1中的△CDE绕点水平除雾器C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．
①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；
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②图2中∠AFB的度数是 ．
（3）如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．
【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②；（3），
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质即可求解；
（2）①由“SAS”可证,可得；②由全等三角形的性质可得，即可解决问题；
（3）结论：先证明可得由此即可解决问题．
【详解】（1）；
证明：∵和是等边三角形，
∴
∴，
故填：；
（2）①；
证明：∵和是等边三角形，
∴
∴
在和中
∵
∴,
∴；
②∵,
∴
设BC交AF于点O，如图，
∵
∴
∴
故答案为：；
（3）结论：
理由如下：
在Rt中，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题关键是正确寻全等三角形或相似三角形解决问题．
模型二 半角模型
（一）等边三角形中120含60半角模型
（二）等腰直角三角形中90含45半角模型
例2
3. 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，见解析；（3）不成立，新的关系为AE＝EF＋CF．
【解析】
【分析】（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（轴流风机启动2）如图2，延长FC到熔断器底座H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有BH=
BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；
