初二数学
【教学进度】
几何第二册第五章第二册第五章 §5.2 [教学内容]
一、主要知识点一、主要知识点
1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线直线，所得的对应线段成比例。，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边．三角形一边平行线的性质平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。，所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的．三角形一边的平行线的判定定理判定定理：如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）（或两边的延长线）（或两边的延长线）所得的对应所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析二、重点剖析
1．平行线分线段成比例定理，．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。例的最重要方法之一。 定理的基本图形定理的基本图形
∵l 1∥l 2∥l 3 ∴
DF
EF
AC BC DF DE
AC AB EF DE
BC AB =
== ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。应。
②为了强调对应和②为了强调对应和记忆记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：
EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下”可以说成“上比下等于上比下” DF DE
AC AB =
， 可以说成“上比全等于上比全”可以说成“上比全等于上比全” DF
EF
AC BC =
， 可以说成“下比全等于下比全”等可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形基本图形
L L L 图1-（1）
C
F
A B E D F
C
图1-（2）3
E D 12B A F
3
L C 图1-（3）
2L L 1B
E A 图1-（4）
F
L 3
C
L 2L 1B D A 3
L 2L L 1(D)(E)
A
B C
D E
F
l 1
23
l l 图3图4A D B C E 图5C B E F G A D
∵DE ∥BC ∴ AC
CE AB DB AC AE AB AD EC
AE
DB AD === ①图2—（1），图2—（3）称为“A ”型，图2—（2）称为“X ”型”型 ②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的．三角形一边平行线的判定定理判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。是平行线分线段成比例的推论的逆命题。 （1）这个定理可以用来判定两条）这个定理可以用来判定两条直线直线平行。平行。
（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比
例。例。
4．平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。
它是一个假命题，如图3，其中AB=BC ， DE=EF ，则1==EF DE BC AB ，但L 1、L 2、L 3不平行。不平行。 5、三角形一边的三角形一边的平行线的性质平行线的性质定理2（即课本例6），这个定理也叫做定理也叫做相似三角形相似三角形预备定理预备定理
① DE ∥BC AC AE
BC DE AB AD ==Þ
这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。 ②当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定理也成立。理也成立。
③图4是最基本的“A ”型，课本例6中有“A ”型时常作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。到关系明显的线段上去。 [典型例题]
例1、如图5，在△ABC 中，D 是BC 上的点，上的点，
E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点
F ，若AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求BF:EF 的值。的值。
分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值。并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值。
解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC
AE
DC GE =
又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73
=DC EG
极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则，则
∵
32=DC BD ∴ DB=x
x DC 3
1473232=
´= ∴9
14
3314==x x
EG BD
A D E B
C
E D
A
B
C A
B
C
D
E
图2-(1)
图2-(2)
高纯三氧化钼图2-(3)
A
B
C
D
E
银行门F
图6 解之，得BD=3
10
（cm ） 例3、如图7，A 、C 、 又 ∵EG ∥BC ， ∴
914
小分子抑制剂==EG BD FE BF 例2、如图6，DE ∥AB ，EF ∥BC ，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm，求 BD 。 分析分析 根据条件可知BDEF 为平行四边形，由EF ∥BC ，应用应用相似三角形相似三角形的预备定理，得
BC
EF
AB AF =
再应用再应用比例比例性质，即可求出EF 即BD 。 解：∵解：∵ DE ∥AB ， EF ∥BC
∴ 四边形BDEF 为平行四边形，为平行四边形， ∴ BD=EF
又∵又∵ EF ∥BC ， ∴
BC
EF
AB AF
=
∴DC BD BD BF AF AF +=
+ ∴2
355+=+BD BD
E 和B 、
F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED 、BC ∥FE 。
求证：AF//CD
分析分析 要证明AF//CD ，应推导出能使AF//CD 的比例线段，
由题中图形可知，应证明OD OF
OC OA =，而由AB//ED ， BC//FE ，容易得到此关系。，容易得到此关系。
证明：∵AB//ED ∴OD OB OE OA = ① ∵BC//FE ∴OE
OC OF OB = ② 由①得由①得 OE OB OD OA ×=× 由②得由②得 OE OB OF OC ×=× ∴OF OC OD OA ×=× 则OD
OF OC OA = ∴AF//CD 点评：本题是采用的是“点评：本题是采用的是“公比公比过渡”的方法来解决问题的，过渡”的方法来解决问题的， “公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比，“公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， 有时公比是采用有时公比是采用乘积乘积式的形式。式的形式。
例4 如图8 梯形ABCD 中，AB//CD ，M 为AB 的中点，
分别连结AB 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于交于
E ，DB 与MC 交于
F ，求证EF//CD
分析：要证EF//CD ，可根据三角形一边平行线的，可根据三角形一边平行线的判定定理判定定理证明，证明，
首先观察EF 、CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。
证明：∵AB//CD ∴EM DE AM CD =，FM CF
MB CD =
又∵AM=BM ∴FM
CF EM DE = ∴EF//CD 点评点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线直线平行的一般步骤为：平行的一般步骤为： （1）首先观察欲证平行线截哪个三角形）首先观察欲证平行线截哪个三角形 （2）再观察它们截这个三角形的哪两边）再观察它们截这个三角形的哪两边 （3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可
当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比 例5 如图9，,,,C B A ¢¢¢分
别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 上
或其延长线上，且C C B B A A ¢
¢¢//// 求证：C C B B A A ¢
=
¢+¢111 分析分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
证明：∵A A C C ¢¢// ∴BA C B A A C C ¢=¢¢ ∵B B C C ¢¢// ∴AB
C
A B B C C ¢=
¢¢ ∴1=¢+¢=¢+¢=¢¢+¢¢C A C B C A C B C C C C ∴¢=
¢+¢111 图7C O B A F
D E
D 图8
C M A E F B 图9
A
C
B
A
C
B
F C 图11B D
E A M
N 点评点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角
形有关性质进行求解，形有关性质进行求解，如本题中，如本题中，如本题中，要证要证C C B B A A ¢=¢+¢111，只需证1=¢
¢
+
¢¢B B C C A A C C ，即将倒数和的形式化为线段比的形式。为线段比的形式。
例6 如图10 四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于E ，
EF//CD 交BC 于F ，求证：1==AB
AD
BF BC
分析分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比，结论是两个线段比的差，可分别求
出每一组线段的比， 再进行再进行减法减法运算。运算。
证明：∵AE 平分∠BAD ∴BE DE
AB AD =
① 在△BCD 中 ∵EF//CD ∴BF
CB BE DB =
② ②—①得②—①得
1=-=-BE DE BE DB AB AD BF BC ∴1=-AB
AD
BF BC
硬币组合例7 如图11，AD 为△ABC 的角平线，的角平线，
BF ⊥AD 的延长线于F ，AM ⊥AD 于A
交BC 的延长线于M ，FC 的延长线交AM 于E ，
求证：AE=EM 分析分析 要证AE=EM ，可利用，可利用比例比例缎来证明，而由BF ⊥AF ， 可延长BF 交AC 延于N ，构造，构造等腰三角形等腰三角形， 利用等腰三角形性质有BF=FN ，再由BN//AM ， 得比例线段，即可得出结论。，即可得出结论。
证明：延长BF 交AC 的延长线于N ∵AF ⊥BF ∴∠BFA=∠NFA=900 又∵∠BAF=∠NAF ，AF=AF
∴△ABF ≌△ANF ∴BF=NF ∵BF ⊥AF AM ⊥AF ∴BF//AM ∴
EC FC EM BF =，CE
FC
AE EN =煤仓疏松机
∴AE
FN EM BF = 又∵BF=FN ∴EM=AE 受话器
点评（1）有和角平分线）有和角平分线垂直垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三
角形性质证题线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题 （2）利用比例证明线段相等主要有以下形式）利用比例证明线段相等主要有以下形式 ①b a b a =Þ=1 ②c a b c b a =Þ= ③c a d b d c b a =Þïþïýü== ④d b c a d c b a =Þïþïýü== 例8 如图12 把线段AB 分成2：3两部分两部分 分析分析 利用平行线分线段成比例定理利用平行线分线段成比例定理作图作图 作法；1. 以点A 为端点，作为端点，作射线射线AM
2. 在AM 上顺次截AD=2a ，DE=3a （a 为任意长）为任意长）
3. 连结BE ，过点D 作DC//BE 交AB 于C ，则点C 即为所求即为所求
[练习与测试] 1． 如图△ABC 中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，上，
且DE//BC ，EF//AB ，AD=9，EF=6，CF=5， 则BF= 2． 直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于点D 、E ，
且AD=4cm ，AE=6cm 、AB=12cm ，AC= 那么DE//BC 3． 如图DE//BC 3
2
=DB AD ， F
图10
C B
E
A
D
图122a
A
D C 3a
B E
M (第1题)B D C F E A (第3题)
C
E
A B
D
A
F
E D
D A
E
N
E F
A
D
B C
（第13题（2）—③）
M
（第13题（2）—②）
A D
E F C B
M N
（ 那么
EC AC = =BC
DE
4．如图在．如图在 ABCD 中，E 在AD 上，上，
且4AE=5DE ，CE 交BD 于F ，则=DF BF
5． 如图，如图，梯形梯形
ABCD 中，AD//BC ，对角线 AC 、BD 相交于O ，CE//AB 交BD 的延长线于E ， 若OB=6，OD=3，则DE=
6． 如图，已知DC//EF//GH//AB ，
AB=30，CD=6，且DE ：EG ：GA=1：2：3， 则EF= GH=
7．如图，在．如图，在 ABCD 中，中， O 1、O 2、O 3分别为对角线BD 上三点，上三点， 且BO 1=O 1O 2=O 2O 3=O 3D ，连结AO 1，并延长交BC 于E ， 连结EO 3，并延长交AD 于点F ，则AD ：FD=
8． 图，GB AF l l 5
2,//2
1=，BC=4CD ，
若AE=k EC ×，则k=
9． 如图，CD 是△ABC 的角平分线，
点E 在AC 上，5
2==AC AE AB AD ，AC=10，求DE 10． 如图，CD 是△ABC 中，E 为AC 的中点， D 为BC 上的点，且BD=AB ，求证：GD
AG
AB BC =
11． 已知，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边，在AB 的同侧作两个的同侧作两个等边三角形等边三角形ACD 和BCE ， AE 交CD 于F ，BD 交CG 于G ，求证FG//AB 12． 已知，BD 为△ABC 的角平分线，DE//BC ，
交AB 于E ，求证：DE
BC AB 1
11=
+ 13．已知，如图（1），梯形ABCD 中，中，
AD//BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，上， 且EF//BC ，EF 分别交BD 、 AC 于M 、N 。
① 求证ME=NF
② 当EF 向上向上平移平移 图（2）各个位置其他条件不变时，）各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。①的结论是否成立，请证明你的判断。
[练习与测试参考解答或提示]
1．215；2．18cm ； 3．5
2
,35； 4．9：4； 5．9； 6．10，18； 7．9：1； 8．2； 9．6
(第6题)G A C
E B
H
F D (第7题)E
O B
1
A 2
O C
O F 3
D
E C G (第8题)
B F A D
l 2l 1(第9题)
B
D
C
E
A A D E B
C
G (第10题)D
A
E
F
N
M
B
C
(第13题（1）)（第13题（2）—①）
A D B
C （N）M
E
F
，所以==+=+，有AD
NF
CD CF AB BE AD EM =
==，
