课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号 知识点
容易题 (题号)
中等题 (题号)
稍难题 (题号)
利用空间向量证明 平行、垂直问题 1 11 利用空间向量求异面 直线所成角、线面角. 2、3 4、6、7 8 利用空间向量求二面角 5
10、12
9
一、选择题
1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 解析：若l ∥α，则a·n ＝0. 而A 中a·n ＝－2， B 中a·n ＝1＋5＝6，
C 中a·n ＝－1，只有
D 选项中a·n ＝－3＋3＝0. 答案：D
2．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角余弦值为8
9终端准入系统
，则λ等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，λ＝－2或2
55
.
答案：C
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
解析：(特殊位置法)将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连接A 1E ，则A 1E 为OA 1在平面AD 1内的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角．或建系利用向量法． 答案：D
4．(2009·全国卷Ⅱ)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为 ( ) A.
1010 B.15 C.31010 D.3
5
解析：如图连结A 1B ，则有A 1B ∥CD 1，
∠A 1BE 就是异面直线BE 与CD 1所成角，设AB =1， 则A 1E =AE =1，∴BE 2，A 1B 2. 由余弦定理可知：cos ∠A 1BE 310
.10
225
羟乙基纤维素钠=
⋅ 答案：C
5．(2009·滨州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 ( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析：以A 为原点建系，设棱长为1.
则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，
D (0,1,0)，
∴1A D ＝(0,1，－1)，
1A E ＝(1,0，－1
2)，
设平面A 1ED 的法向量为 n 1＝(1，y ，z )
则⎩⎪⎨⎪⎧ y －z ＝0，1－12z ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2，z ＝2.
∴n 1＝(1,2,2)，
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)．
∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝2
3.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3.
答案：B
6．(2009·浙江高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C
1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解析：如图，取BC 中点E ，连结DE 、AE 、AD ，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设各棱长为1，则AE ＝
3
2
， DE ＝1
2，tan ∠ADE ＝AE DE ＝3
21
2＝3，
∴∠ADE ＝60°. 答案：C 二、填空题
7．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________． 解析：建立坐标系如图，
则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，
1BC ＝(－1,0,2)，1AE ＝(－1,2,1)，电动钢丝刷
cos 〈1BC AE 〉＝
11BC AE BC
AE
＝
30
10
.
30 8．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝
OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是__________．
解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a ， 则A (a ,0,0)，B (0，a ,0)， C (-a,0,0)，P (0，
2,2a a
)， 则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝(－a ，－a 2，a
2)，CB ＝(a ，a,0)，
设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB ，n 〉＝
CB n CB n
＝网眼面料>液压静力压桩机
a 2a 2
·2＝1锁架
2
， ∴〈CB ，n 〉＝60°，
∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30°
9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________．
解析：设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为S
3，由
题设得S 1S ＝23，设侧面与底面所成二面角为θ，则cos θ＝13S S 1＝S 3S 1＝1
2，
∴θ＝60°. 答案：60° 三、解答题
10．(2009·包头模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点． (1)求证：PB ∥平面EAC ；
(2)若AD ＝AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值．
解：法一：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在△PDB 中，OE ∥PB ，又OE ⊂平面AEC ，
PB ⊄平面AEC ，故PB ∥平面AEC .
(2)设AD =AB =PD =PA =a ， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，
又CD ⊥AD ，∴CD ⊥侧面PAD ，∴AE ⊥DC ， 又△PAD 为正三角形，且E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD ，故AE ⊥平面PDC
在等腰△PDC 中，作DM ⊥PC ，则M 为PC 的中点， 再作EN ∥DM 交PC 于点N ，则EN ⊥PC ，连接AN ， 则∠ANE 为二面角A-PC-D 的平面角， 在Rt △PDC 中，DM =
22a ，所以EN =24
a ， 在等边△PAD 中，AE =
32a ，所以tan ∠ANE =
6.AE
EN
法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系O-xyz ，其中O 为AD 的中点．设PA=AD=PD=a ，AB =b ， 则P (0,0，
32a )，D (－a 2，0,0)，E (－a 4，0，3
4a )，B (a 2
，b,0)， 连接BD 交AC 于点F ，则F (0，b
2
，0)．
