摘要：
随着社会和经济的发展，医学水平能力渐渐得到提高，现今社会的医学水平已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。人们也认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。通过建立传染病的传播模型，可以了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
传染病病毒是随时间演变的过程。本文以微分方程的SIR模型为基础，分析传染病的扩散传播规律，建立动态模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。通过人数的规划，建立了传染病的微分方程模型，并用matlab软件拟合出患者人数随着时间的变化的关系曲线，利用控制变量的方法，控制某些变量不变，改变其中某个变量，通过比较出导致传染病的传染的主要因素，以便做出相应的措施。
本模型的关键在于把确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人划分成可传染者和不可传染者两类人，辅加一些特殊的参数，如：传染率，治愈率等等，构成微分方程组，出单位时间内正常人人数的变化，确诊患者人数的变化，疑似患者人数的变化，死亡者或治愈者（即退出系统者）的人数的变化，从而建立了微分方程模型。
在模型建立的基础上，通过matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，分析图形，得出结果，从而到解决问题的响应措施。
关键词：动力学模型 微分方程模型 控制变量 matlab软件
一、问题重述
已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为到，病患者的治愈时间为天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。通过合理的假设建立传染病传播的数学模型。
二、问题分析
据题目意思，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，在此我们选用微分方程。因题目中把人分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用SIR模型。模型中我们出单位时间内这五类人人数的变化来建立微分方程，得出模型。再利用matlab画出图形，加以分析，达到得出应对措施的目的。
把考察范围内的人分为以下种类：
1、健康人，即易感染（Susceptibles）人。记其数量为S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；
2、潜伏期人，即被感染（Infection）该疾病的人，记其数量为I(t) 表示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数；
3、疑似病患，记其数量为E(t) 表示示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数；
4、确诊病患,记其数量为Q(t) 表示示t感染该疾病并确诊为患者的人数；
5、恢复人（Recovered）,记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的人数（这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统）。
基于以上的假设，健康人从潜伏期到移出传染系统的过程图如下：
三、模型假设
1.假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比;
2.假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比;
周荣鑫3.假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变,记为N。
4.假设潜伏期人不会传染健康人，不具有传染性。
5.假设被隔离的患者无法跟别人接触，不会传染健康人。
6.假设治愈者已对该病毒有免疫力，不会再被该传染病传染，可以退出系统
7.假设初始时刻健康人的总人数为=1.1千万,潜伏期的总人数为=1，疑似病患的总人数为=0，确诊病患的总人数为=0，恢复人的总人数为=0。
四、符号说明
格兰杰检验
病毒潜伏期（天）
病患者治愈时间（天）
病患人均每天接触人数 r
隔离措施强度 p
时刻t内健康人 S(t)
时刻t内潜伏期人 I(t)
时刻t内病症疑似人 E(t)
时刻t内已患病人 Q(t)
时刻t内治愈或死亡人 R(t)
传染病传染率
季正雄
五、建立模型
由模型的假设得到如下关系：S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N
1）根据假设在时刻内健康人变化有：
2）在时刻内治愈或死亡人的变化有：（为单位时间内患者的恢复率）
3）在时刻内病症疑似人的变化有：
4）在时刻内已患病人的变化有（已患病人等于潜伏期病人转为感染者减去移除人数）：
5）在时刻内潜伏期人的变化有： （为单位时间内潜伏期病人转为感染者的比例常数）
根据以上变化有
六、模型的求解与验证
模型一分析：
当贾耀斌，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔离。有初始状态的患者人数为：，则患者人数随时间变化如图一：
由上图可以得到：在当哈特曼，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔离的条件下。当时，患者的人数是急剧上升的，在t=13.0971达到最大值，此时患者人数为y=228669.8722在采取医疗措施，比如患者入院，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势，在250天后患者人数为115.5535。
模型二分析：
当，患者1.5天后入院，疑似患者1.5天后被隔离。有初始状态的患者人数为：，则患者人数随时间变化如下图二：
由上图可得：在当，患者1.5天后入院，疑似患者1.5天后被隔离的条件下。当时，患者的人数是急剧上升的，在t=13.3715达到最大值，此时患者人数为y=52851.3637在采取医疗措施，比如患者入院，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势，在250天后患者人数为26.5958。
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