李涵，张敏，宁静
摘要：本文分析在接种疫苗成为有效的防疫手段之前的儿童麻疹的流行机理，建立改进的SIR模型，分析在一次麻疹爆发的过程中，以及在较长的一段时间内麻疹流行蔓延的变化规律。考虑在一次麻疹流行周期中，在麻疹病毒的潜伏期内被感染的孩子表面上看来是正常的，但却会传染给别人。病毒潜伏期以后患病的孩子一直隔离到病愈为止，而被隔离的儿童已经不具备传染能力了。因此区分处于病毒潜伏期内的已感儿童与隔离中的已感儿童是必要的。麻疹病愈后的孩子是免疫的。所以我们建立一个改进了的SIR模型，用S表示易感儿童，这些儿童是完全健康的，用I表示处于病毒潜伏期的儿童，这些儿童表面正常但具有传染能力，R表示被隔离的儿童即被移除出传染系统的儿童。在一次麻疹爆发之后，绝大多数人体内具备了免疫抗体，因此大多数新生婴儿的体内具备免疫抗体，考虑到流行周期起因于易感人的积累，易感人来源于新生儿因母体抗体逐渐消失而易感，既往没有患过麻疹的儿童和成人。通常认为在自然感染状态下，这些易感者积累到一个及以上出生队列时就达到爆发的“临界”。同一年出生的人组定义为一个出生队列，出生队列出现的周期性在一定程度上可以说明麻疹流行的周期性。所以我们用积累一个出生队列的时间来表示一次爆发的临界。 关键词：SIR模型 出生队列
1．问题重述：
麻疹是以往儿童最常见的急性呼吸道传染病之一，其传染性很强，在人口密集而未普种疫苗的地区易发生流行约2～3年发生一次大流行，l－5岁小儿发病率最高。麻疹患者是惟一的传染源，患儿从接触麻疹后7天至出疹后5天均有传染性，病毒存在于眼结膜、鼻、口、咽和气管等分泌物中，通过喷嚏、咳嗽和说话等由飞沫传播。婴儿可从胎盘得到母亲抗体，生后4－6月内有被动免疫力，以后逐渐消失；虽然绝大部分婴儿在9郑苹如个月时血内的母亲抗体已测不出，但有些小儿仍可持续存在，甚至长达15个月，易感母亲的婴儿对麻疹无免疫力，可在分娩前、后得病。当易感者被传染后，麻疹病毒会在局部粘膜短期繁殖，同时有少量病毒侵人血液；此后病毒复制活跃，大约在感染后第5~7天，大量进入血液，此即为临床前驱期。在此时期，患儿全身组织如呼吸道上皮细胞和淋巴组织内均可到病毒，并出现在鼻咽分泌物、尿及血液等分泌物和体液中，此时传染性最强。皮疹出现后，病毒复制即减少，到感染后第16天，仅尿内病毒尚能持续数日。出疹后第2天，血清内抗体几乎100％阳性，临床症状也开始明显改善。
要求：建立一个能够描述儿童麻疹流行蔓延的数学模型，仅考虑在接种疫苗成为有效的防疫手段之前的麻疹的流行。
上图中为我国某地区在1947~1960年每年麻疹病人的死亡人数
1．说明所建立的模型是否具有某种周期性质。
2. 估计模型中的参数以拟合0.5周的潜伏期及2年的周期流行的观察结果。根据估计的参数是否符合实际实际。
2．问题分析：
2.1 麻疹是治愈后具有很强的免疫力的传染病，因此我们用SIR模型作为最初
步的模型进行一次麻疹流行的机理分析；
2.2 考虑在一次麻疹流行周期中，在麻疹病毒的潜伏期内被感染的孩子表面上
看来是正常的，但却会传染给别人。病毒潜伏期以后患病的孩子症状表现出来，就会一直隔离到病愈为止，被隔离的儿童已经不具备传染能力而移除出传染系统。因此区分处于病毒潜伏期内的已感儿童与隔离中的已感儿童是必要的；
2.3 一般的麻疹爆发在几十天，我们不考虑在一次麻疹爆发时间内某地区的出生
人口和死亡人口，以及人口的迁入和迁出；
2.4估计SIR模型中的参数值以拟合0.5周的潜伏期和2孙吉林年的周期流行的观察结果，在一次麻疹传播过程中，如果得到的函数曲线与实际中麻疹传播的过程相符，就可以说明麻疹病毒潜伏期为0.5周和以2年的周期流行的观点是正确的；
2.5通过对SIR模型及麻疹流行机理的分析，在一次麻疹爆发以后绝大多数人体
内具有了麻疹免疫抗体，因此绝大多数新生婴儿体内具有抗体，考虑到流行周期
起因于易感人的积累，易感人来源于新生儿因母体抗体逐渐消失而易感，既
往没有患过麻疹的儿童和成人。通常认为在自然感染状态下，这些易感者积累到
一个及以上出生队列时就达到爆发的“临界”。同一年出生的人组定义为一个
出生队列，出生队列出现的周期性在一定程度上可以说明麻疹流行的周期性。所
以我们用积累一个出生队列的时间来表示一次爆发的临界；
3．模型假设：
蛋清粉3.1 在麻疹病毒传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生和死亡，迁入
及迁出，即总人数不变；
3.2 总人分为：易感人；:已感人（具备传染能力的人）；：移除
出传染系统的人；
创新思维的特征3.3 被隔离的病人一定会被治愈，然后具有麻疹免疫抗体退出传染系统；
3.4 假设病人的日接触率（每个病人平均每天有效接触的人数）为常数，日隔
离率（每天被隔离的人数占总人数的比例）也为常数；
3.5 假设一次麻疹爆发之后，全部的新生婴儿体内都具备麻疹免疫抗体；
4.符号说明：
4.1 ：表示总人数；
4.2 ：易感人占总人数的比例；
：已经感染病毒但表现正常的人占总人数的比例；
：移除出传染系统的人
4.3 ：病人的日接触率（每个病人平均每天有效接触的人数）；
：病人的日隔离率（每天被隔离的人数占总人数的比例）；
：麻疹病毒潜伏期
4.4 ：一个出生队列；
5.模型建立与求解：
5.1.1 SIR模型的求解
在以上假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：
由假设1显然有：
(1)
被隔离者数量应为
(2)
易感染者数量应为
(3)
已感人数量应为：
(4)
设初始时刻的易感染者，染病者，移出者的比例分别为
SIR基础模型用微分方程组表示如下：
（5）
的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计的一般变化规律。
数值计算：在方程（5）中设，，，用软件编程代码如下：
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:50;
x0=[0.020,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
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pause
plot(x(:,2),x(:,1))
