第36卷哈尔滨师范大学自然科学学报
Vol．36，No．52020
第5期
NATUＲAL SCIENCES JOUＲNAL OF HAＲBIN NOＲMAL UNI
VEＲSITY
基于新型冠状病毒传播的数学模型研究
*
付吉丽1，黄立强2，王玉文2
（1．哈尔滨石油学院；2．哈尔滨师范大学）
【摘
要】首先根据所寻的与疫情发展相关的时间序列数据，选取了其中六
个具有代表性的国家从2020年1月21日起至5月26日总计128天的数据进行了统计分析， 然后构建了感染人数和死亡人数的折线图，通过计算图像斜率、平均数来判断各个国家疫情增长趋势， 通过层次分析法结合各个国家疫情防控力度和有效力将国家分为高风险、
中等风险和低风险国家．其次选取合理的指标，构建数学模型，
对世界范围内主要国家对疫情的管控效果进行综合评价，通过建立SIＲ模型，
建立微分方程进行求解．以中国为参考研究对象，进行预测．求得驻点对驻点进行分析，
确定新冠肺炎的扩散条件，并对此进行预测和检验．【关键词】新型冠状病毒；层次分析法；时间序列分析；SIＲ模型
中图分类号：O241；O232
文献标识码：A
文章编号：1000－5617（2020）05－0018－06
收稿日期：2020－09－21
*基金项目：黑龙江省教育科学“十三五”规划2019年度备案课题（GJC1319050）
0引言
新型冠状病毒（COVID －2019）自2019年12
中国实验方剂学杂志月爆发以来，已蔓延至全球，严重影响了世界各国人民的身体健康和生命安全．它的出现引起了人们的极大关注，
它的传播速度快，传播范围广，对全球都产生了很大的威胁，对各国的经济、人民的生活、
生命财产造成了巨大影响．为了弄清新型冠状病毒疫情发展的特点和规律，对于世界范围内的疫情发展能够有一个清晰的认识．该文主要分析了各国疫情情况，
并且提出了相应的建议．通过已有的基本数据建立SEIＲ数学模型，并结合建立好的SEIＲ模型进行分析思考，再对主要的疫情国家进行管控效果进行综合评价．
1数据分析结果
如图1所示，选取了中国、美国、俄罗斯、德
国、
英国和西班牙六个国家从1月21日起128d 的感染人数数据
［5］
，将各个国家的感染人数通过
折线统计图的形式展现出来．通过计算图像斜率K =
d Y 1
d t
得到算选国家的感染人数增长率．得到美国增长率为1．3316e +04，
德国1．8567e +03，俄罗斯2．2113e +03，西班牙2．4833e +03，英国2．2166e +03，中国519．2793．
接着通过所统计的128天数据，计算出各个国家增长人数的平均数．接着通过所统计的128d 数据，计算出各个国家增长人数的平均数．求得美国12765．7人/d ，德国140．3人/d ，俄罗斯2896人/d ，
西班牙1848．7人/d ，英国2072．1人/d ，中国648．4人/d．从得出的数据进行比对来看美国增长速率依然最快，
俄罗斯第二，之后依次是英国、西班牙、德国和中国．其中、德、英、西四个国家趋于平稳．
第5期
基于新型冠状病毒传播的数学模型研究
图1
主要国家感染人数统计图
图2主要国家死亡人数统计图
通过死亡人数折线统计图图2来看美国依旧是死亡人数最大的国家，
其次是英国接下分别是西班牙、
德国、中国和俄罗斯．然后通过计算出所选取的主要国家的死亡率，
进行死亡率排列．其中美国死亡率为5．97%，英国死亡率为13．90%，西班牙死亡率为12．30%，德国死亡率为4．70%，中国死亡率为5．58%，俄罗斯死亡率为1．10%
．
图3
中国日确诊人数趋势图
图4
美国日确诊人数趋势图
图5英国日确诊人数趋势图
综上所述，通过图3 图8增长速率、感染人数平均数、
人口结构死亡数、每日新增确诊数将国家分为高风险国家、中等风险国家和低风险国家．
对所选取的六个国家针对疫情管控方面进行客观、
全面的评价，属于多目标决策问题．首先选择合理的指标，
通过选择感染人数的增长速9
1
两天一夜20120108哈尔滨师范大学自然科学学报2020年第36
卷
图6
俄罗斯日确诊人数趋势图
图7
德国日确诊人数趋势图
图8西班牙日确诊人数趋势图
率、死亡率、每日新增确诊人数和感染总人数为所选参数指标．通过以中国为参考建立综合评判模型
［1］
．
（1）确定因素集．记为：
U =｛增长速率u 1，死亡率u 2，每日新增确诊人数u 3，
感染总人数u 4｝（2）确定评语集．对国家对疫情的管控情况，
将其分为五类：防控优秀，防控良好，防控一般，
防控较差，防控差．记为：V =｛防控效果优秀v 1，防控效果良好v 2，防控效果一般v 3，防控效果较差v 4，
防控效果差v 5｝（3）确定各因素的权重．记为：A =［0．25，0．3，0．25，0．2］
（4）确定模糊综合判断矩阵．对指标u 1的的评判有网友舆论来打分
Ｒ1=［0．75，0．2，0．05，0，0］
上式表示参与打分的网友中，有75%的人认为中国感染人数增长速率防控优秀，
20%的人认为0
2
第5期基于新型冠状病毒传播的数学模型研究
中国感染人数增长速率防控良好，
5%的人认为中国感染人数增长速率防控一般，企业内部控制基本规范
认为中国感染人数增长速率防控较差和差的人为0．用同样的方法对其他因素进行评价．
对指标u 2和u 3由组内成员去市内重点医院进行问卷调查，
由医护人员来确定：Ｒ2=［0．8，0．2，0，0，0］；Ｒ3=［0．7，0．2，0．1，0，0］
对指标u 4由组内成员进行打分确定：Ｒ4=［0．9，0．1，0，0，0］以Ｒi 为第i
行构成评价矩阵
它是从因素集U 到评语集的一个模糊关系矩阵．
（5）模糊综合评判．进行矩阵合成运算：B 1=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
·
=
［0．785，0．18，0．0375，0，0］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则中国评判结果为
“防控效果优秀”．对于其余5个国家采取上述过程进行综合评价．
（1）美国
B 2=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
总参战略规划部·
=
［0，0，0．085，0．27，0．645］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则美国评判结果为
“防控效果差”．（2）俄罗斯
B 3=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
·
=
［0．58，0．315，0．105，0，0］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则俄罗斯评判结果为
“防控效果优秀”．（3）德国
B 4=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
·
=
［0．62，0．28，0．07，0．03，0］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则德
国评判结果为
“防控效果优秀”．（4）英国
B 5=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
·
=
［0．22，0．21，0．295，0．275，0］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则英国评判结果为
“防控效果一般”．（5）西班牙
B 6=A ·Ｒ=［0．25，0．3，0．25，0．2］
·=
［0．2475，0．2225，0．31，0．22，0］
取数值最大的评语作为综合评价结果，则西班牙评判结果为
“防控效果一般”．2模型的建立
假设1
（1）设未感染者、感染者、治愈者、死亡者所
1
2
哈尔滨师范大学自然科学学报2020年第36卷
占比例分别为s （t ），y （t ），r （t ），q （t ），这里s （t ）+y （t ）+r （t ）+q （t ）=1．
（2）设病人的日接触率为λ，即每个病人每天有效接触的平均人数，
日治愈率为μ（治愈人数占病人总数的比例），传染病死亡率为m ，即死亡人数占病人总数的比例．
假设人中总人数N 不变，不考虑出生和自然死亡因素．
首先给时间t 一个增量Δt ，考虑在Δt 内增加的病人数及减少的未感染者、治愈者及死亡者人数，
则Δt 内增加的病人数为N ［y （t +Δt －y （t ）］=λNy （t ）s （t ）Δt －μNy （t ）Δt －Nmy （t ）Δt （1）
Δt 内减少的未感染者
N ［s （t +Δt ）－s （t ）］=－λNy （t ）s （t ）Δt
（2）
Δt 内减少的治愈者
雷蒙罗维设计作品
N ［r （t +Δt ）－r （t ）］=μNy （t ）Δt （3）Δt 内减少的死亡者
N ［q （t +Δt ）－q （t ）］=Nmy （t ）Δt （4）
将式（1） （4）两端除以Δt ，消去N ，取极限
得
d y
d t =λsy －μy －my d s d t =－λsy
d r d t =μy d q d t
=my
（5）
根据模型（5）得到驻点s =
λ+μ
m
，据文献2可知新冠疫情不扩散的条件是s 0=
m +μ
λ
．实证选取数据总人数N =60000000，以2020年5月27日国家卫健委发布的新冠肺炎数据作为未感染者比例r （t ）、
s （t ）、感染者比例y （t ）、治愈者比例r （t ）、治愈者比例r （t ）的初始值，
即s （0），y （0），r （0），q （0）分别为0．999976，0．000014，0．0000006，0．0000004．根据1月27日 5月26日国家卫健委发布的实际数据，可知1月27日 5月26日的平均治愈率为0．94318，平均死亡率为0．05584．由此赋值日治愈率μ=0．94318，死亡率m =0．05584，预测天数t =180d ．根据改进的SIＲ模型方程（5）．
3模型检验及评价
选取中国5月21日 5月25日5天的感染
者人数，
死亡人数和治愈人数．与表1所列数据变化与图3曲线进行比照．
根据比较可以看出，预测数据相差不大，较为吻合．模糊综合评判方法可以避免凭经验进行目标选择所固有的主观性．使并购决策更加科学合理．SIＲ模型结构简单、可操作性强，适用于描述疾病发展的整体趋势
［3－4］
．因疫情传播实际过
程中日接触率、
治愈率变化较快，且还有其他因素也在变化，
因此改进的SIＲ模型相对来说还比较理想化，
后续还需进一步改进．所选取的国家有较大的主观性，
缺少更为客观的筛选模式．表1
日期确诊（新增）
确诊（累计）死亡（累计）
治愈（累计）5月21日4829714634782555月22日0829714634782585月23日3829744634782615月24日1182985463482685月25日
7
82992
4634
78277
2
2
