变量，但能确定y 是x 的函数，这些函数被称为隐函数。它们通常都 圆锥与圆锥曲线
抛物线
椭圆
圆
双曲线
圆形，投篮时篮球的轨迹是抛物线，
行星运行的轨道近似椭圆，发电厂冷却塔的外观近似双曲线，它们都可以用二次隐函数来表达，也被称为圆锥曲线。
顾名思义，圆锥曲线与圆锥有
关。如果用平面去截一个圆锥，所截得的曲线可能是圆、椭圆、双曲线或者抛物线，这些就统称为圆锥曲线。在公元前3—4世纪，古希腊的数学家们就研究过这类曲线，其中的尼奥斯是研究圆锥曲线的集大成者。 那些圆润柔美的函数曲线
茉莉花瓣曲线
笛卡儿虽然没有写下心形线，
但他发现了另一条美丽的曲线——叶形线。1638年，笛卡儿首次得到叶子形状的曲线为， 有数学家认为这条美丽的曲线很像
茉莉花瓣的样子，所以也被称为茉
莉花瓣曲线。
玫瑰曲线
数学中还有著名的玫瑰曲线，
股市女神它对应的函数为
，当
取不同的值时，可以得到不同花瓣、不同形状的玫瑰曲线。
对数螺线
笛卡儿还给出了对数螺线
，因为这条曲线上任意一点
和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角，所以也被
称为等角曲线。的外壳、蜘蛛网的形状就呈现出对数螺线形。大卫克劳斯
17世纪的瑞士数学家雅各布·伯
努利（概率论先驱之一，最早使用
“积分”术语的人，较早使用极坐标系的数学家之一）醉心于研究对数螺线，他的遗嘱里要求在其墓
对数螺线（供图/张浩）
玫瑰曲线（供图/张浩）
k=2k=3k=4k=5
k=0.5k=0.25k=0.6k=1.4
笛卡儿叶形线（供图/张浩）
我依
斯（被誉为“现代分析学之父”）发现函数
的图
像处处都连续，但处处都不“光滑”，可以想象这是一条连续的锯齿状的曲线。这个函数在当时引起极大震动，彻底改变了数学家对函数的看法，推动了函数论的发展。
科赫雪花曲线
在魏尔斯特拉斯函数的影响下，
许多“怪异”曲线涌现出来。瑞典数学家科赫给出了著名的科赫曲线，它是人为构造的第一个具有局部和 整体相似结构的曲线。
为什么说是人为构造的？你可
以在纸上画一条线段，将线段分成三等份，取中间一段为边向外作一个正三角形，并把中间一段擦掉，再分别对得到的每条线段重复上面
的过程，画出更小的正三角形后擦掉中间的一段，按此步骤一直迭代（即在前一步的基础上，重复相同的操作）下去，得到的就是科赫曲线。由3条科赫曲线可以得到科赫
雪花曲线。科赫曲线可被用来模拟海岸线。值得注意的是，科赫曲线在任意小的尺度上都具有精细结构，
即不管怎么放大总能发现新世界。 科赫雪花曲线迭代过程
科赫雪花曲线（供图/张浩）
游园惊梦 影评
科赫曲线（供图/张浩）
魏尔斯特拉斯函数的近似图形（供图/张浩）
（责任编辑 / 张丽静 美术编辑 / 周游）
学家希尔伯特都构造出一条能填满
正方形的曲线：通过恰当选择参数
函数得到一条连续的参数曲线，当
参数变化时，曲线能经过一个正方
形内的所有点，相当于能填满一个
正方形！
以希尔伯特曲线为例：取一个
正方形并且把它分出4个相等的小
正方形，然后从左下角的正方形开
始至右下角的正方形结束，依次把
小正方形的中心用线段连接起来；
下一步把每个小正方形分成4个相
财政收入等的正方形，然后依照相同的方式
1区212把它们的中心连接起来……将这种
操作无限进行下去，最终得到的极
限情况的曲线就可以填满整个平面。
“分形”创造出的
奇妙函数曲线
电麻机分形一词是数学家曼德勃罗创
造的，他系统深入地研究了银河系
中天体分布、月球表面、地貌的生
成、海岸线的结构等自然界中的
分形现象。从一个简单的迭代函数
（ 和 都是复数）出
即在迭代的过程中使函数值能够稳
定在一个范围内 的集合，就叫作
朱利亚集。当取不同的 时，对应
的朱利亚集就是许多美妙的图形。
如果固定迭代的初始值 ，让参数
变化起来，能够使函数值不发散的
的集合，就叫作曼德勃罗集。如取
初始值 时，曼德勃罗集中也
分形具有以非整数维形式充填空间的形态特征，通常被定义为
“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至
少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。
知识链接 分形
会出现一个“心形”围成的曲线，
若把图形放大，会在图中看到无限
多个类似的心形！
作为刻画现实世界最重要的数
学模型，函数当之无愧是数学里的
绘画大师。也许现在的你对它还有
很多难以理解的地方，但不要紧，
先看到它的美，再试着去探索它的
奥秘吧！还有更多美丽的图形等待
你的发现。
c≈-0.12+0.74i的朱利亚集，
形似一只兔子（供图/张浩）曼德勃罗集
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