这是生产中的一个实际问题，生产缠绕式离合器的缠绕工序简要描述如下：一个在凸轮控制下作水平运动的喷头不断喷出涂了生橡胶的玻璃纤维丝，铺放在匀速转动的一个圆盘中。当玻璃纤维丝达到总长度时停止，以后在高温下固化成型，即得到一个缠绕式离合器片。除了电机、减速器等传动机构、进料机构、固化成型机构和机架等可常规设计外，这个工艺的首要问题是考虑曲线铺放在胎具中的形状，进而形成对凸轮的设计，而这也是工艺设计中的核心问题。 从使用的角度来看，离合器片是很平的环片状，显然密度要均匀，即要求丝铺设均匀（一种描述就是单位面积重量相同），又满足一定的力学条件（例如剪应力，疲劳强度等等），这就需要玻璃纤维丝在环内不断交叉，形成网状。
从简化凸轮设计的角度来看，整条曲线应分为若干形状完全相同的段，即曲线应有周期，并且在每个周期中曲线应与内、外圆至少各相交一次。习惯上，称一个圆周中的周期个数为花瓣数，经验上看瓣数至少为2。为了实现上述生产工艺，必须设计出凸轮的形状，凸轮与胎盘转速之比这两个关键因数。
我们用数学语言来描述这个问题：即在一个平面环形（内半径为
r，外半径为2r）区域中自环内某点开始出发作一个曲线，要求曲线1
满足条件：
1、连续，总长度为L左右；
2、设曲线从内圆上某点开始，波动式地在环形内缠绕，具有周期性，花瓣数至少为2；
3、曲线间必须是相交的，且多次相交，还不允许重复；
4、在每个周期内必须和内圆、外圆各相交一次；
5、要求圆环内任何位置，单位面积中所含各条曲线总长度尽量相同，即分布均匀；
6、尽量简单，便于实现。
陈永棋请针对11=r ，22=r ，600=L 情况给出设计。
一、问题分析
这个问题的核心是设计曲线形状使生产出的离合器片实现单位面积重量相同，即密度在各个方向上均匀。这是一个二维问题，由于是在环形区域里，故采用极坐标较方便，两个方向分别为径向和圆周方向，显然只要曲线在这两个方向上都均匀就实现了单位面积重量相同。下面分别从这两个方向上着手
来解决问题。
二、径向方向的均匀问题
在()θ,r 点处考察θd 角度内的一段曲线，此时径向均匀问题就是单位面积内曲线长度相同而与r 无关，亦即θd 中的曲线长度ds 与面积θrd ×1之比为常数()1〉c c 即
c r
d ds =θ
（2-1） 由于()()()222θrd dr ds +=知
12−=c rd dr θ
（2-2） 记12−=c a ，此微分方程的通解为θa be r =，这是对数螺线，其中a，b 为待定常数。
下面设计曲线的准确形状。
（1） 如果从始至终地采用一条对数螺线，曲线始终不相交，与条件
3矛盾，不符合离合器片的工艺要求。
（2） 只能分段使用对数螺线，相邻两段对数螺线应相交在与内、外圆交点处，交点处应出现尖角，但是在实际生产中由于玻璃纤维丝有一定的弹性，交点处必然会出现光滑连接，从而引起误差，只能近似地实现径向均匀。我们在曲线设计时采用分段对数螺线，而不多考虑尖角，至于剩下的问题通过凸轮形状设计去处理。
再讨论分段方法。
大理学院图书馆
由条件1与条件5，取 (){⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=K T K T K T be be a K T a r 2,0,2θθθθθ构成曲线的一个周期，其中k 为花瓣数，",2,1=k 。那么曲线的周期为k T ，ππ2,2≈≤T T 。考虑到采用分段对数螺线的方法必然有误差的问题，而k 越小周期越长，曲线越平坦，在与内、外圆相交处尖点变化趋势就越小从而误差越小。联系到花瓣数要求至少为2，我们取2=k 的曲线为设计曲线。再注意到为了避免曲线重复，k T 不能选定为π的整数倍，因此可以取απ2−（α以后定）作为周期。
（3）a．b 的确定。因曲线从()0,1r 点出发开始，故得1r b =；a 的选择使曲线在半周期απ−2时达到最大值2r ，即曲线过⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−απ2,2r ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=απ212
a e r r （2-3）
从而得α
π
−−=2ln ln 12r r a ，那么每个周期曲线形状为
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−∈⎪⎩
⎪⎨⎧=−−−−−−απθαπαπθθαπθαπαπθ2,02,221ln 2ln 1221ln 2ln 1r r r r e r e r r
学缘结构
三、 圆周方向的均匀问题
我们设计绕制一个离合器片的总长度L 左右的曲线恰好构成n 2个周期。开始曲线从()0,1r 点出发，1个周期后，曲线从()απ2,1−r 开始，2个周期后，曲线从()απ42,1−r 开始，… …，n 2个周期后，曲线再
回到()0,1r 点。只要曲线的周期固定在απ2−上，那么每两条相邻的同向曲线间隔相同，这样就满足了圆周方向的均匀性。下面我们来求α。记曲线每个周期长度为l 2，从而有
有机纤维
nl l n L 422=⋅≈ （2-4）
人民健康的忠诚卫士ααπn n 4222=⋅= （2-5）
()∫−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−+=+=α
π
απθ202122'2ln ln 21r r d r r l （2-6） 利用这三式可以联立解出整数解n 与α。由于α的变化对l 影响很小，因此方法可以是先利用（2-4）及（2-6）中0=α的l 求出整数n 再求α，然后迭代几次最终确定n 与α。我们以600,2,121===L r r 为例说明这个过程。
D 475.102575.02,614600,477.22ln 212
0≈≈=≈=≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==n l n l παπα
61,4431.22ln 02575.02
回春呼吸法12
02575.0=≈⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+==n l πα 再迭代下去61=n 已不变，说明这已是最后解，此时1.596=L 。
对此例的设计具体图形见图2．
