习题62
(1)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为
.
(2)
解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为
解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1 e] 所求的面积为
(3)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为
(4)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为
(1) 与x2y28(两部分都要计算)
解
(2)与直线yx及x2
解
所求的面积为
(3) yex yex与直线x1
解
所求的面积为
(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).
解
所求的面积为
3 求抛物线yx24x3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积
沈长富 解
y2 x仿真4
过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y4(x3)
过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y2x6
两切线的交点为 所求的面积为
4 求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积
解
2yy2p
在点处 法线的斜率k1
法线的方程为 即
求得法线与抛物线的两个交点为和
法线与抛物线所围成的图形的面积为
5 求由下列各曲线所围成的图形的面积
(1)2acos
解
所求的面积为
a2
(2)xacos3t, yasin3t张卫平教你打篮球;
解
所求的面积为
(3)=2a(2+cos )
解
所求的面积为
6 求由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积
解
所求的面积为
7 求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积
解
所求的面积为
太白参8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
(1)3cos 及1cos
解
曲线3cos 与1cos交点的极坐标为 由对称性 所求的面积为
(2)及
解
曲线与的交点M的极坐标为M 所求的面积为
9 求位于曲线y=ex下方该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
解 设直线ykx与曲线yex相切于A(x0 y0)点 则有
求得x01 y0e ke
所求面积为
10 求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值
解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
显然当时 A10 当时 A10
因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
11 把抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积
解 所得旋转体的体积为
煤矿施工组织设计12 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
李忠仁
解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
13 把星形线所围成的图形 绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积
解 由对称性 所求旋转体的体积为
14 用积分方法证明图中球缺的体积为
证明
15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积
(1) 绕y轴
解
(2) x0 xa y0 绕x轴
解
(3) 绕x 轴
解
(4)摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 y0 绕直线y2a
