第13章 静电场中的导体
P70．
13．1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零） [解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得
E4πr2 = q/ε0，
可得P点的电场强度为
．
当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为
．
13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？
[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl．
设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
，
可得电位移为 D = λ/2πr，
其方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr，
方向也垂直中心轴向外．
13．3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？
[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为
13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求
（1）B、C板上的电荷为多少？
（2）A板电势为多少？
[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为
q1 = σ1S和q2 = σ2S，
在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程
q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ①
A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0，
A、C间的场强为 E2 = σ2/ε0．
设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则
ΔU = E1d1 = E2d2， ②
即 σ1d1 = σ2d2． ③
解联立方程①和③得
σ1 = qd2/S(d1 + 江阴华士疫情最新消息d2)，
所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；
q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．
B、C板上的电荷分别为
qB = -q1 = -2×10-8(C)；
qC关于厉行节约反对食品浪费的意见 = -q2 = -1×10-8(C)．
(2)两板电势差为
ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，
由于 k = 9×109 = 1/4πε0，
所以 ε0 = 10-9小说世界/36π，
因此 ΔU = 144π = 452.4(V)．
由于B板和C板的电势为零，所以
UA = ΔU = 452.4(V)．
13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？
[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得
q1 + q2 = 0． ①
虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为
σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，
它们产生的场强大小分别为
E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．
在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得
E1 - E2 – E = 0，
即 σ1 - σ2 – σ = 0，
或者说 q1 - q2 + q = 0． ②
解得电量分别为
q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．
13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？
[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．
由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．
由于两板带等量异号的电荷，所以
σ2 = -σ3．
两板之间的场强为
E = σ3/ε0，
而 E = U/d，
所以面电荷密度分别为
计算机光盘 σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，
σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．
13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式表示． （提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）
[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为
外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为
．
外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R3趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为
．
方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为
，
因此感应电荷为
．
根据高斯定理可得两球壳之间的场强为
，
负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．
取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为
球面间的电容为
．
13．8 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质，求电容C为多少？
[解答]球形电容器的电容为
．
对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：
．
当电容器中充满介质时，电容为：
．
由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：
．
13．9 设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d1和d2，求电容器的电容．
[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为
C1 = ε1S/d1和C2 = ε2S/d2．
总电容的倒数为
，
总电容为 ．
13．10 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的，其长为l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：
（1）两极的电势差U；
（2）介质中的电场强度E、电位移D；
（3）电容C，它是真空时电容的多少倍？
[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为
，
高斯面包围的自由电荷为 q = λl，
根据介质中的高斯定理 Φd = q，
可得电位为 D = λ/2πr，
方向垂直中心轴向外．
电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr，
方向也垂直中心轴向外．
取一条电力线为积分路径，电势差为
．
电容为 ．
在真空时的电容为
，
所以倍数为C/C0 = ε/ε0．
13．11 在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质，相对介电常量为εr．设金属球带电Q0，求：
（1）介质层内、外D、E、P的分布；
（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．
[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为
高斯面包围的自由电荷为q = Q0，
根据介质中的高斯定理 Φd = q，
可得电位为 D = Q0/4πr2，
方向沿着径向．用矢量表示为
D = Q0r/4πr3．
电场强度为
E = D/ε0εr = Q0r/4πε0εrr3，
方向沿着径向．
由于 D = ε0E + P，
所以 P = D - ε0E 光和影的传说= ．
在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以
D = Q0r/4πr3，E = Q0r/4πε0r3，P = 0．
（2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q0产生的场为
E0 = Q0r/4πε李跃程0r3；
极化电荷q1`产生的场强为
E` = q1`r/4πε0r3；
总场强为 E = Q0r/4πε0εrr3．
由于 E = E0 + E`，
解得极化电荷为 ，
介质层内表面的极化电荷面密度为
．
在介质层外表面，极化电荷为
，
面密度为
．
13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？
[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q2/2C，得静电能之比为
W1:W2 = C2:C1 = 2:1．
两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU2/2，得静电能之比为
