前言
自然科学基金
1．圆锥面上的圆锥曲线
希腊人最先研究圆锥曲线，据传首先是为了解决当时的几何学与神学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，并在逐步探索认识和解决问题的过程中，发展和深化了对圆锥曲线的了解。
所谓“倍立方”，就是求作一立方体，使其体积为一已知立方体的2倍．希波克拉底首先指出它可以归结为求线段a与2a之间的两个等比中项．设x，y是这两个中项，a∶x= x∶y=y∶2a，则x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，于是得x3=2a3．如果a是已知立方体的边，那么x就是所求立方体的边．前面几个二次方程在解析几何中是抛物线与等轴双曲线，由此导致这两种曲线的发现．这发现一般归功于门奈赫莫斯(约公元前350年)，普罗克洛斯推测他是用两条圆锥曲线的交点来解决倍立方问题的．
他又用平面去截圆锥面，得到三种截线．圆锥面是直角三角形围绕一个不动的直角边旋转所产生的．不动的直角边叫做轴，斜边叫做母线，通过轴的平面与圆锥面相交而成的三角形叫做轴三角形．轴三角形的顶角有锐角、直角、钝角的三种情形．门奈赫莫斯用垂直于一条母线的平面去截圆锥面，所得到的截线当轴三角形的顶角是直角时叫做“直角圆锥截线”，现称抛物线；当顶角是钝角时叫做“钝角圆锥截线”， 现称双曲线；当顶角是锐角时叫做“锐角圆锥截线”，现称椭圆．这些名称为欧几里得、阿基米德所沿用，直到尼奥斯，才证明一个平面和一个圆锥面相交，也可以得到这三种曲线．
不久又出现欧几里得4卷本的《圆锥曲线》，更有系统地阐述了若干锥线的性质．可惜此书连同阿里斯泰奥斯的书均已失传，只能从帕波斯的著作中得知其大概．帕波斯认为尼奥斯是以这4卷为基础，再加上4卷才完成其8卷的巨著的．
欧几里得对圆锥曲线的认识并不限于门奈赫莫斯的三种截法(截面垂直于一母线)，他在《现象》一书中曾指出：用平面去截正圆柱或正圆锥，只要平面不平行于底，其截线就是“锐角圆锥截线”(椭圆)，其形状似盾
牌．阿基米德在《劈锥曲面与回转椭圆体》中更进一步证明任何一个椭圆都可以看成是一个圆锥面的截线，这个圆锥面顶点的选择有很大的任意性．由此可知，在尼奥斯之前，并非不知道这三种曲线也可以用别的方法获得，但仍采用门奈赫莫斯的定义，理由可能是处理某些问题时更加简单方便． 阿基米德对圆锥曲线以及由圆锥曲线产生的回转体作了深入的研究，如求面积、体积、重心、浮力等等．到此为止，圆锥曲线的理论已经积累了大量的资料．正象欧几里得将初等几何问题整理成一个严密的体系那样，将圆锥曲线问题也整理出来已经有了足够的条件，这关键性的一步，是由尼奥
运筹学单纯形法斯来完成的．
2．几何学里的圆锥曲线
在公元前3世纪前后，最著名的希腊三大学者欧几里德（前330 ？-前275年）、阿基米德（前287？-前212年）和尼斯(前262-前200年)都研究了圆锥曲线。欧几里德除了总结历史上几何学发展的成果，把几何学条理化、系统化写成巨著《几何原本》一书外，还着有《圆锥曲线论》等书（可惜失传了）。欧几里德在《几何原本》中给出了圆锥曲线统一定义，即平面内一点F和一定直线AB，从平面内动点M向AB引垂线，垂足为C，若MF：MC值一定，则动点轨迹为圆锥曲线，但他未证明。阿基米德则成功计算了抛物线弓形的面积，发明了用同心辅助圆画椭圆的方法，还提出了圆锥曲线的直径的概念。尼斯著书《圆锥曲线》共八卷，有487个命题（其中第八卷失传）。该书全面讨论了圆锥曲线的性质，并包含了坐标和曲线方程的思想，但都是用几何方法。他推广了梅内克缪斯用平面垂直三种顶角（锐角、直角、钝角）圆锥的母线而得圆锥曲线的方法，从同一个圆锥中，改变截面对于圆锥轴的倾角的方法，就能截出三种圆锥曲线。他同时并用两对顶圆锥，从而发现了双曲线有两支。他研究了圆锥曲线的直径和轴，研究了双曲线的渐近线。他最先发现椭圆、双曲线有焦点，发现椭圆、双曲线上任一点处切线性质（“光学特性”），但未发现抛物线的“光学特性”。
公元340年，希腊学者帕普斯（约290-350年）着《希腊数学集成》，他
首次发现抛物线有焦点和圆锥曲线有准线。他第一个用焦点和准线来定义圆锥曲线：圆锥曲线是一动点到一定点和到一定直线距离的比是常数的轨迹，并加以证明，说明MF:MC值小于1时，M点轨迹为椭圆，等于1时为抛物线，大于1时为双曲线。他还提出了圆锥曲线的离心率。
上述对圆锥曲线的研究用的都是纯粹几何的方法，其构造、推演、论证的技巧与方法实在令人折服。
3．坐标系下的圆锥曲线
法国著名哲学家、数学家笛卡尔（1596-1650年）创立了解析几何学，他建立了坐标系概念，用数学方程来研究物体的运动轨迹，并且认识到代数的二元二次方程的图象是圆锥曲线。普朗克常量
法国著名数学家费尔玛(1603-1665年)受到古希腊尼斯著作《圆锥曲线》的启发，于笛卡尔稍后，也独立具有了解析几何的思想。他分别从三个不同的方面给圆锥曲线以定义，就是既把圆锥曲线看作平面截圆锥所得的截线，又看作是平面上动点到定点和到定直线距离比为常数的点的轨迹，还看作是代数的二元二次方程的图象。
解析几何的创立，使得人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。
17世纪下半叶，英国著名科学家牛顿(1642-1727年)、德国著名数学家莱布尼兹(1646-1716年)创立了微积分学，以运动、辩证的数学分析方法，解决实践中提出的本身就是运动、辩证的大量数学、力学问题，“获得了不仅是正确的，而且是初等数学研究完全不能达到的成果。”（恩格斯《反杜林论》）新的分析方法，极大地推动了数学、物理、天文科学的发展。牛顿还用微积分学研究了圆锥曲线的切线性质，提出了它的光学应用，还设计了牛顿系统的光学反射式望远镜。
18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发吹破气球
表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。
继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。
总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。
二．给我们的一点启示
当圆锥曲线圆锥曲面上神奇地仿佛是无中生有地产生时，梅内克缪斯可能没有想到，圆锥曲线在现实世界还有如此多样的存在方式；当古希腊的那些学者们在研究圆锥曲线的性质时，他们也不会想到，这些性质竟有如此丰富多彩的出神入化的应用。他们当初的研究就是针对数学而言，没有也不会想到太多；也正是数学本身的魅力吸引了他们，让如痴如醉地研究数学。
不错，数学来源与生活又服务于生活，数学是有用的。但有用的标准是什么？当初陈景润研究哥德巴赫猜想用到的理论和方法让很多研究数学的人也感到难以理解，高处不胜寒，但现在却成了密码学的一个重要依据（杨乐语）；而数学中的二进制，常常让人觉得麻烦和不习惯，仿佛一种纯数学的毫无用处的游戏规则，但我们现在都知道，电脑设计中离开它是一个无法想象的事。
数学是有用的，但作为一种新的数学知识，我们往往暂时看不到它的用处，因为数学本身的一个特征就是它常常是领先于其他自然科学或社会科学的。它有其自身的发展动力与轨迹，如问题的产生，内部的矛盾，和谐与统一的追求，方法的选择与革新等。所以我们在强调“数学有用”的同时，不能过分地被“有用”的标准所牵制。
正文
第一部分．几何学与圆锥曲线
1.现先用几何方法表示圆锥曲线
在圆锥中，通过轴的平面与圆锥面相交所成的三角形叫做轴三角戏。视轴三角形的顶角为锐角，直角，钝角分别称为锐角圆锥，直角圆锥，钝角圆锥。用垂直与一条母线的平面去截这三种锥面，得到三种不同的截线：即
椭圆抛物线双曲线（一支）
而对于这三种圆锥曲线的性质，可用几何证明而得到。
设直角圆锥的轴三角形VBC是等腰直角三角形，顶角V是直角，过母线VB上一点A用垂直于VB平面圆锥面，其交线QAR为直角圆锥截线。过交线QAR 上任一点P作平面垂直于轴VO，它与轴截面VBC交于DE，与圆锥交于以DE为直径的圆DPE，由于平面DEP和AQR均垂直于平面BVC，
故交线PN┴DE于是NP2 =
三叶草成人DN·NE。
作AF//DE,FG ┴DE，如图。
因为ΔAFG ∽ΔNAD,
