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做架简单，功效卓著，感应强烈，首屈一指，能及之地，无形之剑，横扫虚指，均可伤敌，增长内力，亦助内功．如果说六脉神剑是金庸笔下的至高绝学，那我们今天的主角六大函数则是导数的首屈一指．我们今天就来说说导数中的“六脉神剑”，数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．
学好导数的一个重要根基就是研究函数图像，六大同构函数及其相关模型函数在导数很多领域应用广泛，无处不在，包括处理单调性，极值，最值，零点问题，参数范围问题，不等式问题等等．要掌握要这几个函数就必须熟悉它们的图像及基本性质，另外，我们也需要挖掘六大函数的数据逻辑和本质联系．本专题，我们将从六大同构函数图像及性质、外部函数同构、极值底层逻辑展开分析． 第一讲六大同构函数
六大同构函数分别是:ln ,
,
,
ln ,,ln x x
x x
e x x
y xe y y y x x y y e
x
x
x
=====
=
，我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系.
如图181:--求导后知:()(1),
()x
f x x e f x '
=+⋅在区间(,1)-∞-递减，在区间(1,)-+∞递增,
min ()f x 1
(1)f e
=-=-
100
如图182:--求导后知:()ln 1,()f x x f x '
=+在区间1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递增,
min 11();f x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
关于图181--和图182--，我们仔细观察会发现对于x
y xe =函数，我们把x 换成ln x 即可得到
ln y x x =.
如图183:--求导后知1:(),()x x
f x f x e
'
-=
在区间(,1)-∞-递减，在区间(1,)-+∞递增,max 1
()(1);f x f e
==
如图184:--求导后知:2
1ln (),()x
f x f x x
'
-=
在区间(0,)e 递增，在区间(,)e +∞递减,max 1
()(1);f x f e
==
关于图183--和图184--，我们仔细观察会发现对于x x
y e
=
函数，我们把x 换成ln x 即可得到ln x
y x
=
. 如图185:--当0x <；时，2
(1)
()0x e x f x x '
-专家：人民币大幅贬值可能性不大
=
<，在区间(,0)-∞递减; 当0x >时,2
(1)
()x e x f x x
'
-=，在区间(0,1)递减，在区间(1,)+∞递增，min ()(1);f x f e == 如图186:--当1x <；时,2
ln 1
()0(ln )x f x x '
-=<，在区间(0,1)递减;
当0x >时，2
ln 1
()(ln )x f x x '
-=
，在区间(1,)e 递减，在区间(,)e +∞递增,min ()()f x f e e ==;
关于图185--和图186--，我们仔细观察会发现对于x
e y x
光影交错的时空
=函数，我们把x 换成ln x 即可得到
ln x y x
=
. 关于图185--和图186--，我们仔细观察会发现对于x
e y x
=函数，我们把x 换成ln x 即可得到
ln x y x
=
. 本是同根生：我们以()x
f x xe =为母函数，则其他五个同构函数都可以用()f x 的复合形式表示:
1.11;()
x x e y x x e f x -==-=--⋅-
101
2.()()x x x x
y x e x e f x e
--=
=⋅=--=--; 3.ln ln ln (ln )x
y x x e x f x =⋅=⋅=;
4.1111ln ln ln ln (ln )x x
y x x x e f x x
笛卡尔我思故我在----==-⋅=-⋅=--; 5.1ln 11111ln ln 1ln ln x x y f
x x e x x x
⎛⎫
=
=-=-=- ⎪-⎝⎭
⋅⋅; 第二讲 外部函数同构一平移和拉伸得到的同构函数
如图1
187:(1)(1)(1)x x x e e x e
ef x ----⋅=-⋅=-，即将()f x 向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为
原来的e 倍，故可得(1)x
y x e =-⋅在区间(,0)-∞递减，在区间(0,)+∞递增，当0x =时，min 1y =-.
如图1
1
1188:(1)(1)(1)x
x x e e x e e f x -+---+⋅=⋅+⋅=+，即将()f x 向左平移1个单位，再将纵坐标缩
小为原来的
1e 倍，故可得(1)x
y x e =+⋅在区间(,2)-∞-递减，在区间(2,)-+∞递增，当2x =-时，min 21y e
=-. 如图ln 1ln 189:
(ln )x ex
e e
f ex x ex
+--==-，当ln (,1)ex -∈-∞-，即(1,)x ∈+∞递减，当ln (1,)ex -∈-+∞，即递增,max 1y =.
如图(1)
1111810:
(1)((1))x x x y x e f x e e e
-----=
=-⋅=---，即将()f x 关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小-1倍，得到，1x x y e -=
故可得1
x
x y e
-=在区间(,2)-∞递增，在区间(2,)+∞递减
,
102
当2x =时,max 2
1y e =
如图11111
1811:1(1)((1))x x e y x e x e e f x ----==-=-+--⋅-+，将1()
f x 关于原点对称后，左移一个单位，再将纵坐标缩小1e
倍，故可得1x
e y x =+在区间(-1,0)递减，在区间(0,1)递增，当0x =时，min 1y =.
如图()
2222
ln 1ln 11812:ln 22
x x f x x x --==--，当2
ln (,1)x -∈-∞-,
即)x ∈+∞递减，当2ln (1,)x -∈-+∞,
即x ∈递增,max 1
2y e
=
. 【例1】（2020•福建模拟）函数()(1)x
f x x e =+⋅的最小值为.
2111
e e e ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为21:e
-. 【例2】（2020•惠州期末）函数1
()(0)x e f x x x
-=>的最小值为. 【例3】（2020•韶关期末）函数2()(0)e f x x x
=>的最小值为.
【例4】（2020•荆州期末）函数()f x x x
=+
的单调增区间为( ) A ．
(1)-∞，
B ．(01)，
C ．(0)e ，
D ．(1)+∞，
【例5】（2020•广州越秀月考）函数2
()f x x
=
的最大值为.
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中华会务网
【例6】（2020•成都二诊）已知函数ln ()()x x
f x
g x x e x
-=
=⋅，，若存在R x x ∈∞+∈21)0(，，，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则k
e x x ⋅21
2）（
的最大值为( ) A.
小型计算机
邬跃2e B.e C.
24e D.21e
当x 接近于正无穷时,0log ,,(1,),0.m n x a x x x b a b n m <∈+∞>>我们将远大于号后者叫
高阶函数，前者叫低阶函数.
