张睿乔银春郭田
(东北大学，辽宁沈阳110004)
1考虑C aput o 型q-分数阶导数
(1)
其中
是尺度指标，是q-导数的阶数。令
，则。代入的q-导数公式(1)，可以得到
上式将阶的q-分数阶微分方程的问题转化成了阶的q-分数阶微分方程的问题，对于阶微分方程的问题，文[1]提出一种差分方法，我们在此基础上研究该方法对求解阶的q-分数阶微分方程问题的有效性。
2考虑C aput o 型q-分数阶微分方程的初值问题佳能c6000
(2)
其中为尺度指标，是q-导数的阶
令，将初值问题(2)改写成初值问题:(3)
将
离散，对时间区间进行剖分，将区间分成
N 份(非均匀剖分),
，其中网格点
是q -几
何集，步长为。引入函数的分段线性插值:，用插值函数
代替函数
，得到差分公式:
其中
。
构造问题的差分方程:
(4)
其中
。
将上述问题整理成:
另外，由
及可以得到。
代入得到等式:
(5)首先讨论差分问题解的存在唯一性。定理1(解的存在唯一性)假设函数f 在是连续的，且f 满足利普希茨条件:,
则差分方法的解是唯一的。两少一宽
证明：只需证明，对于任意的，当已知时，存
在唯一解x n
。
考虑迭代
,
由等式(5)得到。
作者简介：张睿(1996,4,19-)，女，汉族，籍贯：山东淄博，学历：研究生，研究方向：计算数学。
摘要：近年来,q-微积分(也称量子微积分)和q-分数阶微积分在数学和物理领域中有较多的关注。与经典的分数阶微积分相比,q-分数阶微积分的研究还不成熟，对于阶的Caputo 型q-分数阶微分方程常用L 1离散，但对于阶的Caputo 型q-分数阶微分方程没有给出求解方法。本文继续沿用L 1离散方式，得到求解阶的Caputo 型q-分数阶微分方程的差分方法并对此方法进行分析，验证其有效性。
关键词:Caputo 型q-分数阶微分方程；阶；差分方法；初值问题中图分类号:O175文献标识码:A 文章编号:2096-4390(2021)18-0041-02
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由上式及不等式关系[1]
得到：由于，故序列是收敛的。令
，对于确定的n ，假设问题有两个不相等的解x n 和
，令
，这两个解满足:
,
不等式不成立，故假设不成立，即两个解相等，解的存在唯一性得以证明。
下面讨论差分方程的稳定性。
定理2(稳定性估计)设函数f 满足利普希茨条件且令
,
则差分问题的解满足稳定性估计:
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证明：设
是差分问题(4)的解。根据
差分公式稳
定性定理2[1]，可以得到:。
因此由等式(5)得到:
利用函数f 的利普希茨条件知:
可以得到:
设存在
，使得，则当
时，有
简单整理得
因此有
至此就给出了问题的稳定性估计。最后给出问题的误差估计。
定理3(误差估计)设是初值问题的解,x n 是差分问题
的解，假设
和在上连续，函数
f 满足利普希茨条件且,
则我们有以下估计:
证明：对于函数
和之间的替换,
我们有以下公
式:
简单整理得：由文[1]中的定理(误差估计)知
则有
定理得证。
3结论本文采用L 1离散方式构造求解Caputo 型q-分数阶
(
阶)微分方程差分方法，给出该方法解的存在唯一
性定理及稳定性和误差估计，验证了该方法对求解阶q-分数阶微分方程问题的有效性。
参考文献
[1]Tie Zhang,Can Tong..A DIFFERENCE METHOD FOR SOLVING
THE
NONLINEAR
q
-FRACTIONAL
DIFFERENTIAL EQUATIONS ON TIME SCALES,Fractals,2020,28(06)
[2]T.Zhang,Q.X.Guo,The solution theory of the nonlinear q-fractional differential equations,Appl Math Letters,104(2020)
106282.
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784.
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