有条名联，上联：方若棋盘，圆若棋子，动若棋生，静若棋死.下联：方若行义，圆若用智，动若聘才，静若得意.在数学中，甚是如此，本文将以解析几何为背景，来阐述数学中如何依托的一些动与静的关系来解一些题. 一、动中有静，借形辅数，水到渠成
①以不等式为背景的问题1：椭
圆x 2a 2+y 2b
楔状隙
2=1,F 1,F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，椭圆上存在一点M ，满足MF 1⊥MF 2求离心率e 的范围. 分析求离心率e 的范围实质就是构建a ,b ,c 不等式.
解在椭圆x 2
a 2+y 2
b
2=1上存在点
M 使∠F 1MF 2=90°即以点为原点,OM =c 为半径的☉O 与椭圆相交，而椭圆方程中a 、b 、c 都是动态的，我们可锁定a 、b ，即椭圆不动，使得☉O 与椭圆
相交，只要☉O 足够大，即c 2≥b 2即2c 2≥a 2.
即
2
√2
≤e <1，得解.反思本题在解题过程中，第一要明确目标；第二要选准动静双方.如果前期工作做好了，运用动静的关系，解题就即方便，又准确. 二、静中有动，参变互换，一蹴而就
②以直线为背景的问题3:(2009年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷))设直线系M :x com θ+(y -2)
sin θ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题: A.M 中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C.对于任意整数n (n ≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).分析如果我们把x com θ+(y -2)sin θ=1式子中x ,y 变成相对静止的
参数θ而把参数θ看成变量，就会联想
到公式:
a cos θ+
b sin θ=a 2+b 2√sin(θ+ϕ)(其中tan θ=a b
).
并且-a 2+b 2√≤a cos θ+b sin θ≤a 2+b 2√.
那么就有x 2+(y -2)2√≥1，即x 2+(y -2)2≥1.直线系M :x cos θ+(y -2)sin θ=1(0≤θ≤2π).
上的点M (x ,y )都在以(0,2)为圆心,1为半径的圆上或
凌慧萍
者圆外，如图所示;
显然,A 错误，又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以B 正确.
又因为x cos θ+(y -2)sin θ=1所以点P (0,2)到M 中每条直线的距离d =
1cos 2
θ+sin 2
θ
√=1即M 为圆C :x 2+
(y -2)2
=1：的全体切线组成的集合，对任意n ≥3，存在正n 边形使其内切圆为圆C ，故C 正确.
直线系M 中边能组成两个大小不同的正三角形，如图△ABC 和△AEF ，故D 错误.所以故命题中正确的序号是:B、C.
反思本题的解题关键在于知道动态的直线系M 为圆C :x 2+(y -2)2=1的全体切线组成的，在坐标平面中形成了一个静态的空洞，理解静态的空洞内的点和空洞外的点分别和直线系的关系就可以了，此解法独特，用好“动与静”的关系，解题效果颇佳.
三、动静互换，巧构坐标系，出奇制胜
③以曲线为背景例题4：已知椭圆的长轴长为10，短轴为6，在第一象限内保持与两坐标轴相切地运动，求椭圆的中心的轨迹.
分析变换一下动与静的双方，即坐标系动起来，而把椭圆静止一下，研究椭圆的两条互相垂直的切线的交点的性质，就会把看上去困难的问题解决.
解由已知可以设椭圆方程为x 225+y 29
=1.
全球紧急卫生事件设两切点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则绵阳廖明
两切线方程分别为x 1x 25+y 1y 9=1，及x 2x 25+y 2y 9
=1又设两
切线的交点P (x 0,y 0).
则有x 1x 025+y 1y 09=1,x 2x 025+y 2y 09=1,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐又有x 1225+y 129=1,x 22
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25+y 229=1,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐
⎨⏐⏐⏐⏐⏐还有-9x 125y 1()·-9x
29y 2
()
=-1.
可以化简得x 02
+y 02=25+9=34.
这就是说点P 到椭圆中心距离为34√，故所求轨迹方程为x 2+y 2=34，并且x ∈[3,5].轨迹图形是一段圆弧.
以“动———静———再动———再静———再动—”，不断地使创新思维向更高的水平发展.在思维过程中，如果动不以静为目标，思维就不会获得成功；静不以动为先导，也不会有创新.因此，动，静思维也是一种重要的思维形式.
高考数学命题都源于课本，我们如果在数学学习的过程中，以“动与静”的关系来理解课本中的概念、定理、公式，那么解题时，往往能够事半功倍、避免题海战术.
解析几何中的“动与静”
◎张建云陆平(江苏省宜兴市丁蜀高级中学
214200
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