时间散信道中的一些公式推导
水工系1.1系统函数
系统函数如下：
时变传输函数
延迟多普勒扩展函数
输出多普勒扩展函数
1.2 系统函数之间的关系
首先我们用延迟扩展函数写出输入和输出信号之间的关系
（1）
将输入延迟扩展函数 对延迟变量做傅里叶变换，可以得到时变传递
函数：
（2）
当对输入延迟扩展函数 的做傅立叶变换，就可以得到延迟多普勒扩
展函数(简称扩展函数) 卫星加密：
（3）
最后，将传递函数对绝对时间做傅立叶变换，得到输出多普勒扩展
函数：
（4）
由上式可知，输入延迟扩展函数与时变传输函数、延迟多普勒
扩展函数与输出多普勒扩展函数分别是关于时间变量的一对傅立叶变换函数。
输入延迟扩展函数与延迟多普勒扩展函数、时变传输函数
与输出多普勒扩展函数分别是关于绝对时间的一对傅立叶变换函数。
2.1 系统函数与相关函数之间的关系
首先定义对应四个系统函数的相关函数分别为：
(5)
(6)
(7)
(8)
2.1.1广义平稳非相关散射(WSSUS)假设
在实际应用中，为使问题简化，提出了广义平稳非相关散射(WSSUS)假设。
首先解释广义平稳桃花心木教学设计(Wide-Sense Stationary, WSS)。从数学上说，如果自相关
函数与时间无关，而只和它们的差有关，则该信道是广义平稳的。
在数学上，平稳性应该是在一个无限长的时间上都是满足的；但在实际中，我们通常认为在几十倍的多普勒频率倒数（相关时间）上满足平稳性就是平稳的。在广义平稳假设下，有：
（9）
所谓非相关散射(US)，是指不同延迟的散射体的分布是不相关的，这也意味着：
（10）
从物理上解释，US假设就是指一个回波对另一个延迟不同的回波不能提供任何信息。对传递函数，US假设意味着：
（11）
所以，与绝对频率无关，只与频率差有关。
2.1.2 公式推导
将式（3）代入延迟多普勒扩展函数 的相关函数，在广义平稳非相关散射(WSSUS)假设条件下，可得：
负压病房
（wss条件下）
（US条件下） （12）
同理有：
（13）
（14）
（15）
式（12）~ （15）即为在广义平稳非相关散射(WSSUS)假设条件下系统函数与相关函数之间的关系。在右边的函数中只有两个变量，这使公式和计算都得到了简化。它们在实际中都有重要的用途，分别命名为：
散射函数
延迟互功率谱密度
时频相关函数
多普勒互功率谱密度
2.2相关函数之间的关系
由于四个系统函数、、、存在一定的傅立叶变换
关系，所以相应的四个系统函数的相关函数也存在傅立叶变换关系。
例如，输入延迟扩展函数与时变传输函数、延迟多普勒扩展函
数与输出多普勒扩展函数分别是关于时间变量的一对傅立叶变换函数。相应的，分布是也关于时间变量的一对傅立叶变换函数。输入延迟扩展函数与延迟多普勒扩展函数、时变传输函数与输出多普勒扩展函数分别是关于绝对时间的一对傅立叶变换函数。相应的分别是关于绝对时间差的一对傅立叶变换函数。
同理，延迟互功率谱密度和时频相关函数、散射函数
和多普勒互功率谱密度分别是关于时间变量的一对傅立叶变换函数。而有延迟互功率谱密度和散射函数、时频相关函数和多普勒互功率谱密度分别是关于时间变量的一对傅立叶变换函数。
3．系统函数的一些特例
从散射函数可以计算延迟功率谱密度，也叫做功率延迟剖面(PDP)：
（16）
延迟互功率谱密度在为0的条件下，也可以得到延迟功率谱密
度，即：
（17）
对于时频相关函数，当=0，得到频率相关函数；当，得到时间相关函数。如果=0且，则五力模型可以得到信号的功率。由施瓦兹不等式，我们知道在和时总是分别小于等于它们在=0和时的值，所以相关函数是递减函数(但不一定是单调递减的)。即
频率相关函数 （18）
时间相关函数 （19）
风洞实验室信号的功率 （20）
当多普勒互功率谱密度的，则可以得到多普勒功率谱密度：
（21）
