排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。 对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题
一、基本概念
（一）排队系统的组成
一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。本原多项式
1．输入过程
输入过程指顾客按什么样的规律到达。包括如下三个方面的内容：
（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；
（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；
2．排队规则
排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。在等待制中，又可按顾客服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
3．服务机构
服务机构有以下几个特征参数，服务台数量、服务时间分布、多服务台时服务台是串联还是并联。服务台数量一般分为单台还是多台，顾客在系统中接受服务的时间是个随即变量，通常服从负指数分布或爱尔朗分布。
（二）排队系统的分类
早期，Kendall提出按排队系统的三个最为主要的特征分类，这三个特征是：
X——相继顾客到达的时间间隔分布；
Y——服务时间分布；
Z——服务台个数；
并用如下形式的符号描述排队系统，即：X∕Y∕Z
1971年，国际会议对排队系统的符号进行了标准化，即X∕Y∕Z∕A∕B∕C腰医绅
其中：A——系统容量限制，即系统中允许的最大顾客数；
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B——顾客源数目；
C——服务规则（FCFS、FCLS、SIRO、PR）。
例如M∕M∕1∕1∕∞∕FCFS表示相继顾客到达时间间隔和服务时间服从负指数分布，单台，容量为1，顾客源无限，先到先服务的排队系统；M∕D∕1∕4∕∞∕FCFS表示相继顾客到达时间间隔服从负指数分布，服务时间为定长，单台，容量为4，顾客源无限，先到先服务的排队系统；当省去后三项时表示X∕Y∕Z∕∞∕∞∕FCFS；
二、排队系统所研究的问题
排队问题的研究大体分为三类。
（一）系统性状的研究（即参数指标的研究）
指通过研究系统的数量指标了解系统的基本特征。这些指标如下。
（1）对长LS——系统中的平均顾客数，包括排队的顾客和正在接受服务的顾客。
（2）排队长Lq——系统中排队等待服务的平均顾客数；
（3）逗留时间WS—— 一位顾客在系统中的平均逗留时间，包括排队时间和接受服务时间；
（4）等待时间Wq—— 一位顾客排队等待的平均时间；
（5）系统中没有顾客的概率P0城轨——即所有服务设施都空闲的概率；
（6）系统中有n个顾客的概率Pn；
（7）顾客到达系统时，必须排队等待的概率PW；
（8）忙期——从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲止的时间长度；
（9）顾客损失率；
（二）统计问题的研究
所谓统计问题是指对服务系统统计数据的处理，如顾客相继到达的间隔时间是否独立而且同分布，属于何种分布；服务时间服从何种分布；服务时间与相继到达时间是否独立等。
（三）最优化问题
1．系统的最优设计
在输入及服务参数给定的条件下，确定系统的参数。如在M∕M∕C系统中，在已知的到达率及服务率的情况下，如何设置服务台数C，使得系统的某种指标到达最优。
2．动态控制问题
在这类问题中，系统运行的某些特征量可以随时间或状态而变化。例如，系统的服务率可以随着顾客数的改变而改变。动态控制问题大致分两类：（1）根据系统的实际情况，假定一个实际可行的控制策略，然后分析系统的性状，以该策略确定系统的最优运行参数。例如，在M∕M∕C系统中，可以采取这样的服务策略：当对长达到a时，增加服务台，一旦对长小于a时，取消增设的服务台，对于某个目标函数，可以确定最佳的a；（2）对于一个具体的系统，研究一个最佳的控制策略。
第二节 排队系统常用分布及有关理论
排队系统常用分布有负指数分布、爱尔朗分布和泊松分布。
一、负指数分布
（一）分布函数与密度函数
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设X为非负随机变量，若其相应的分布函数为
F（t）=P（X≤t）=1－e－λt ，t≥0，λ>0
则称X为服从参数为λ的负指数分布。其密度函数为
f（t）=λe－λt t≥0
随机变量X的均值和方差分别为：EX=1∕λ VarX=1∕λ2
负指数分布的性质：
（1）密度函数f（t）对t严格递减；
（2）无记忆性。即任取y，z≥0，有
P（X>y+z | X>y）= P(X>z)
证： P（X>y+z）=1－P（X<y+z）
=1－（1－e五菱牌lzw6371－λ(y+z)）= e－λ(y+z)
同理 P（X>y）=1－P（X<y）= e－λy
又 P（X>y+z | X>y）=
=
= e－λz = P（X>z）
