收稿日期：２００６－０９－２６；修回日期：２００７－０２－１３基金项目：中国民用航空总局机场司科研项目
作者简介：高金华（１９４４－），男，天津人，教授，工学硕士，研究方向为机场规划与管理．
高金华，李
洁
（中国民航大学交通工程学院，天津３００３００）
摘要：利用随机过程和排队论的基础知识，对爱尔朗排队模型进行性能分析和参数求解，给出其在机场旅客航站楼中
的应用范围。通过实例计算，研究单路排队和多路排队方式的区别，为航站楼值机大厅的旅客组织和面积设计提供理论依据，推广排队论在航站楼设计中的应用。
关键词：排队论；旅客候机楼；爱尔朗排队模型中图分类号：Ｖ３５１．１７
文献标识码：Ｂ
文章编号：１００１－５０００（２００７）０２－００４８－０４
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＥｒｌａｎｇＱｕｅｕｉｎｇＭｏｄｅｌｉｎＡｉｒｐｏｒｔＰａｓｓｅｎｇｅｒＴｅｒｍｉｎａｌｓ
ＧＡＯＪｉｎ－ｈｕａ，ＬＩＪｉｅ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＡＵＣ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｒａｎｄｏｍｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙ，ａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆ
Ｅｒｌａｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ，ａｎｄｇｉｖｅｓｉｔｓｓｃｏｐｅｏｆｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎａｉｒｐｏｒｔｔｅｒｍｉｎａｌｓ．
Ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｏｆｅｘ－
ａｍｐｌｅｓ，ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｓｉｎｇｌｅ－ｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌａｎｄｍｕｌｔｉ－ｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ，ｐｒｏｖｉｄｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｙｂａｓｉｓｆｏｒｐａｓｓｅｎｇｅｒｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅａｒｅａｄｅｓｉｇｎｉｎｔｈｅＣｈｅｃｋ－ｉｎｈａｌｌ，ａｎｄｐｒｏｍｏｔｅｓｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙｉｎａｉｒｐｏｒｔｔｅｒｍｉｎａｌｓｄｅｓｉｇｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙ；ｐａｓｓｅｎｇｅｒｔｅｒｍｉｎａｌ；Ｅｒｌａｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ
图１
Ｆｉｇ．１Ｂｌｏｃｋｄｉａｇｒａｍｏｆｑｕｅｕｉｎｇｓｙｓｔｅｍ
输入过程（顾客流）
排队过程Ｘｔ输出过程（离去的顾客流）
图２
单服务窗等待制排队模型
Ｆｉｇ．２Ｓｉｎｇｌｅｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ
早在上个世纪国外学者就将排队论应用到了机场旅客航站楼的分析中，但是大部分多是对理想状态或特殊状态的研究，即假定每一顾客到达的时间相互独立，都具有负指数分布。负指数分布只是爱尔朗分布的一种退化形式，在负指数分布的情况下，航站楼内旅客可以畅行，但实际的旅客流情况却要复杂的多。本文将重点研究当顾客到达时间间隔服从爱尔朗分布时，排队系统在旅客航站楼旅客流分析中的应用。
１
排队模型
１．１排队论基本概念
排队模型是一种包含更新过程与生灭过程机制，却更为复杂的概率模型。简单的排队过程是在两个相互独立的流作用下形成的，其中一个是要求服务的“顾客流”，这时假定顾客是一个一个到达，其时间间隔组成一个更新流；另一个是当顾客进入服务线后，接受
“服务的时间流”［１－２］
。
排队系统的一般框图如图１所示。
记输入过程为Ｎ（ｉｎ）
ｔ（在（０，ｔ］中到达系统的旅客数），输出过程为Ｎ（ｏｕｔ）
尾矿库ｔ
（在（０，ｔ］中离开系统的旅客数）。可得
Ｘｔ－Ｘ０＝Ｎ（ｉｎ）ｔ－Ｎ（ｏｕｔ）
ｔ
（１）
１．２排队系统服务及适用情况
根据机场航站楼旅客流特性，这里仅介绍两种等待制的排队模型。
１．２．１单服务窗排队模型
系统设有一个服务窗口，顾客只能在这个规定的窗口排队和办理手续，如图２所示。
等待队列服务窗１
到达
离开
第２５卷第２期
中国民航大学学报
Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．２２００７年４月
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＩＶＩＬＡＶＩＡＴＩＯＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＣＨＩＮＡ
Ａｐｒｉｌ，２００７
第２５卷第２期高金华，李洁：爱尔朗排队模型在旅客候机楼中的应用
此类模型可应用于小型机场航站楼中的值机、安检服务，为航站楼的面积设计、服务水平评估提供依据。
１．２．２多服务窗排队模型
系统设有多个服务窗口，顾客可以到任何一个窗口排队和办理手续，根据不同的排队规则，又可分为两种排队模型。
１）单路排队模型
旅客排成一个等待队列，当服务窗出现空闲时，旅客按排队顺序前往空闲服务窗接受服务，如图３所示。
当航站楼采用开放式柜台值机时，不管哪个航空公司的旅客都可在任何一个柜台办理值机手续，在这种情况下适用单路排队模型。例如，当航站楼采用开放式柜台值机时，旅客就不一定要在搭乘航班所在航空公司的柜台办理手续，而是视情况选择，当有窗口空闲时，旅客就前去接受服务。
此类排队模型要求旅客在一个固定区域进行排队等候，当有柜台出现空闲时，依次前往接受服务。采用该类排队模式需要机场内各航空公司有一个共享的值机系统，以便旅客可以在不同航空公司柜台办理手续［３］。
２）多路排队模型
旅客按服务窗口排成多个等待队列，每一服务窗口只为对应的等待队列提供服务，如图４所示。
当规定旅客只能在搭乘航班所在的航空公司柜台办理值机手续时，就是此类排队模式。航空公司所设柜台只能为该航空公司的旅客提供值机服务。当各航空公司旅客不平衡时，就可能出现有的柜台前十分拥挤，而有的柜台前却十分空闲的现象，造成资源的浪费。
２单服务窗爱尔朗排队模型Ｅｒ／Ｍ／１
这里考察一种简单的爱尔朗（Ｅｒｌａｎｇ）排队系统，即
单服务窗等待制模型，假定顾客独立到达机场，且相邻顾客到达机场的时间间隔服从ｒ阶的Ｅｒｌａｎｇ分布（记作Ｅｒ），其分布密度函数为［４－５］
ｆ（ｔ）＝ｒλ
（ｒλｔ）ｒ－１
（ｒ－１）！
ｅ－ｒλｔ
ｔ＞０ｒ＞０（２）
且旅客在特定的航空公司办票柜台办理值机手续（假定柜台数为１），服务时间服从参数为μ的负指数分布，其分布密度函数为
ｇ（ｔ）＝μｅ－μ
ｔ
ｔ＞０（３）
则服务窗的平均服务时间为１／μ。式（３）可看成是ｒ个参数为ｒμ的相互独立且有共同负指数分布的随机变量之和的分布密度。将顾客到达系统的间隔时间分为ｒ个相互独立且有相同的负指数分布的相位ｔｉ，使Ｅ（ｔｉ）＝１／ｒλ
，１≤ｉ≤ｒ。这样，每位旅客必须经过ｒ个相位才可进入系统。假如航站楼里已有ｎ个旅客，即这个旅客已经通过了ｎｒ个相位数。那么，如果这时第ｎ＋１个旅客已通过的总相位数为ｊ＝ｎｒ＋ｉ－１。当它用来表示系统的状态时，理论上可证，这样的系统构成一个齐次马尔可夫链｛Ｘｎ，ｎ≥０｝。
将其绝对概率记作ｐｊ＝Ｐ（Ｘｎ＝ｊ）＝Ｐ（系统中已通过的相位），显见，若系统内已有ｎ个旅客，而第ｎ＋１个旅客在未进入系统前的可能相位是ｔ１，ｔ２，…，
ｔｒ。所以，系统中旅客数的平稳分布应为［６－７］
ｐｎ＝
（ｎ＋１）ｒ－１
ｊ＝ｎｒ
#ｐ
中国选煤论坛ｊ
ｎ≥０（４）
对这样的马氏链可对应画出如图５所示的相位流图。
令ρ＝λμ
，由上图可在平衡条件下写出Ｋ氏方程
ｒλｐ０＝μｐｒｋλｐｊ＝ｋλｐｊ－１＋μｐｊ＋ｒ１≤ｊ≤ｒ－１（ｒλ＋μ）ｐｊ＝ｒλｐｊ－１＋μｐｊ＋ｋｊ≤ｒ$
&
%
&’
（５）
则可求出相应的目标参量：
系统的平均队长
Ｌｓ＝∞
ｎ＝０
#ｎｐｎ＝
ρｓｒ
０ｓｒ
０－１（６）
排队等候平均队长
Ｌｑ＝∞
ｎ＝０
#（ｎ－１）ｐｎ＝Ｌｓ－（１－ｐ０）＝
ρｓｒ
０
ｓｒ
０－１－ρ
＝ρｓｒ０－１
（７）
服务窗Ｎ
到达
等待队列Ｎ
服务窗２
离开
等待队列２
服务窗１等待队列１
图４
多服务窗等待制多路排队模型
Ｆｉｇ．４Ｍｕｌｔｉ－ｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｓｍｕｌｔｉ－ｑｕｅｕｅｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ
…
…
图３
多服务窗等待制单路排队模型
Ｆｉｇ．３Ｍｕｌｔｉ－ｓｅｒｖｉｃｅｗｉｎｄｏｗｓｓｉｎｇｌｅｑｕｅｕｅｗａｉｔｉｎｇｑｕｅｕｉｎｇｍｏｄｅｌ
服务窗Ｎ
服务窗１
等待队列
到达
离开
服务窗２
…
０
１２
ｒλｒλ
ｒλ图５
Ｅｒ／Ｍ／１模型状态流图
Ｆｉｇ．５
ＭｏｄｅｌｓｔａｔｅｆｌｏｗｆｏｒＥｒ／Ｍ／１
ｒ
ｒ＋１
ｒλ
ｒλｒλ
μμ
μ
…
…
４９
中国民航大学学报
２００７年４月
由Ｌｉｔｔｌｅ公式可得旅客在系统中的平均逗留时间
Ｔｓ＝Ｌｓλ＝ｓｒ
０
μ（ｓｒ
０
－１）
（８）
同理，旅客的平均排队时间
新乡红旗医院
核衰变Ｔｑ＝Ｌｑλ＝１μ（ｓｒ０
－１）
（９）
其中：ｓ０满足方程
ｒρｓｒ＋１
０－（１＋ｒρ
）
ｓｒ
０＋１＝０ｓ０＞１
（１０）
３多服务窗爱尔朗排队模型Ｅｒ／Ｍ／ｎ
３．１单路排队模型
基于Ｅｒ／Ｍ／ｎ模型求解的复杂性，这里仅给出一种比较接近的解法，当阶数较低时，可以证明该近似解
法与真解较为接近。记系统利用系数ρ＝ｒλｎμ，ρ１＝
ｒλμ
，则ρ１＝ｎρ
。单路排队Ｅｒ／Ｍ／ｎ模型中旅客的平均到达强度为ｒλ，整个系统的平均服务率为ｎμ，由于该系统没有限制旅客来源和系统容量，故系统的可能状态集应为Ｅ＝｛１，２，３，…｝。由此可以画出
系统的状态流图，如图６所示。
由图６可知，当系统处于平衡时，可列出Ｋ氏代数方程并求出相应的平稳分布
ｐｉ＝ｎｉρｉｉ！ｐ０
０≤ｉ≤ｎｎｎρｉ
ｎ！ｐ０ｉ≥#%$%
&
ｎ（１１）
由正则性条件Σｐｉ＝１，当ρ＜１时，整理可得
ｐ０＝
ｎ－１
ｉ＝０
’ρｉ１
ｉ！
＋ρｎ
１
ｎ
！（１－ρ）
()
－１
（１２）
由此可以算得单路排队模型的各目标参数：
排队等候平均队长
Ｌｑ＝
ρｎ＋１
１
（ｎ－１）！（ｎ－ρ１）
２
ｐ０
（１３）
系统的平均队长
Ｌｓ＝Ｌｑ＋ρ１＝
ρｎ＋１
１
（ｎ－１）！（ｎ－ρ１）
２
ｐ０＋ρ１
（１４）
由Ｌｉｔｔｌｅ公式可得旅客在系统中的平均逗留时间
Ｔｓ＝
Ｌｓ
hdn
ｒλ（１５）
同理，旅客的平均排队时间
Ｔｑ＝
Ｌｑｒλ
（１６）
３．２多路排队模型
多路排队模型，相当于ｎ个单服务窗的排队模型，此时可将到达旅客平均到达率按服务窗口的个数平均分配给各个服务窗口。根据前面对Ｅｒ／Ｍ／１模型参数的分析由式（６）￣（１０）可以确定多路排队模型中的各个目标参数，此处不再赘述。
４
实例计算
下面将通过实例对单路排队和多路排队模型进行
性能分析。
假设某机场高峰小时客流量为１２００人，且达到时间间隔满足ｒ＝４的Ｅｒｌａｎｇ分布，航站楼设有１２个开放式值机柜台，且值机柜台的服务效率为每小时处理１２０名旅客，服务时间服从负指数分布，试分别按单
路排队和多路排队计算各相应的目标参数。
由题设可知这是一个Ｅ４／Ｍ／１２的排队模型。排队系统中，ｒ＝４，ｎ＝１２，系统地平均服务服务率μ＝１２０
３６００
＝１３０
人／ｓ。
４．１按单路排队模型计算
此时，系统的平均到达率为ｒλ＝１２００３６００＝１３
人／ｓ，
系统的利用系数ρ＝ｒλｎμ＝５６
＜１，则系统存在平稳分布，
且，ρ１＝ｎρ
＝１２×５６
＝１０，代入式（１２）可得ｐ０＝
ｎ－１
ｉ＝０
’ρｉ１
ｉ！
＋ρｎ
１
ｎ
！（１－ρ）
(*－１
＝
１１ｉ＝０’１０ｉｉ！＋１０１２
１２！（１－５６）+,,-
.//
0－１
＝３．５８７×１０－５
将ｐ０代入式（１３）￣（１６）可得：
排队等候平均队长
图６
Ｅｒ／Ｍ／ｎ状态流图
Ｆｉｇ．６
ＭｏｄｅｌｓｔａｔｅｆｌｏｗｆｏｒＥｒ／Ｍ／ｎ
ｒλｒλ
ｒλｒλ
ｒλｒλｒλｒλｒλμ２μ
ｎμｎμ
ｎμ
（ｎ－１）μ（ｉ－１）μｉμ…
…
…ｎ－１
０
１
２ｉ－１
ｉ
ｎ
ｎ＋１５０
第２５卷第２期
高金华，李洁：爱尔朗排队模型在旅客候机楼中的应用
Ｌｑ＝１０１３
１１！×２
２ｐ０＝２．２４６９
系统的平均队长
Ｌｓ＝Ｌｑ＋ρ１＝１２．２４６９
旅客在系统中的平均逗留时间
Ｔｓ＝Ｌ
ｓｒλ
＝１２．２４６９×３＝３６．７
旅客的平均排队时间
Ｔｑ＝
Ｌｑ
ｒλ
＝２．２４６９×３＝６．７４．２按多路排队模型计算
此时，对于单个值机柜台，系统的平均到达率为
λ＝１２００３６００×１２＝１３６人／ｓ，系统的利用系数ρ＝λμ＝５６＜１，则系统存在平稳分布，将ρ、ｎ、ｒ代入式（１０）得
４×５６
ｓ５０－１＋４×５６!"
ｓ４
０＋１＝０
解得
ｓ０＝１．０７７
代入式（６）￣（９）可得
系统的平均队长
Ｌｓ＝ρｓ
ｒ
虹膜识别
０ｓｒ０－１＝５６×１．０７７４
１．０７７４
－１
＝３．２４５７排队等候平均队长
Ｌｑ＝Ｌｓ－ρ＝３．２４５７－５６
＝２．４１２４
旅客在系统中的平均逗留时间
Ｔｓ＝
Ｌｓ
λ
＝３．２４５７×３６＝１１６．８旅客的平均排队时间
Ｔｑ＝
Ｌｑ
λ
＝２．４１２４×３６＝８６．８则Ｅｒ／Ｍ／ｎ排队模型系统的队长参数为
Ｌ＇ｓ＝Ｌｓ・ｎ＝３．２４５７×
１２＝３８．９Ｌ＇ｑ＝Ｌｑ
・ｎ＝２．４１２４×１２＝２８．９４．３计算结果分析
通过对单路排队和多路排队模型的计算可知，在衡量一个排队模型优劣的几个重要参数（系统平均队长、排队等候平均队长、旅客在系统中的平均逗留时间、旅客的平均排队时间）中，单路排队相对于多路排队具有明显的优势。究其原因，在相同的条件下，在单路排队模型中，顾客不受柜台的限制，当柜台出现空闲时旅客就可马上接受服务，使系统的利用率达到最高，
故要求的排队等候面积会最小，出现拥挤的概率也会大大减少；虽然多路排队分散了旅客流，优化了排队次序，便于航站楼内的旅客流管理，但是由于旅客到达时间与柜台服务时间的随机特性，如果某一柜台出现某种随机原因引起的延误将影响整个排队进程。
通常由于大型机场航站楼里，值机柜台分布比较分散，如果要采用前面所述的绝对意义上的单路排队
模型，就要划定一块固定区域做为所有出港旅客排队等候面积，这在实际操作中不太现实，也不便于航站楼的流程组织管理。为了使模型能应用于实际，可以采用一种变异的单路排队模型，即旅客到达值机大厅，不受航空公司值机限制，视各柜台空闲程度自主选择排队，在排队中如发现有别的窗口比自己所在的窗口服务要快，可自行离去重新选择排队。考虑到实际应用性，采取这种变异的单路排队模型是目前可取的一种选择，这种模型不仅在参数方面优于多路排队模型，而且也在一定程度上考虑了模型的实际应用。如何完善该模型理论与实际的结合将会是今后研究的重要课题。
５
结语
Ｅｒｌａｎｇ分布随阶数的变化能够模拟多种分布情况，当ｒ＝１时，退化为负指数分布；当ｒ趋于无穷大时，
其变为定长分布，该分布的灵活性使得排队模型的应用范围更加广泛。模型中的排队队长是航站楼内功能区面积设计的重要参数，而排队时间则是反映航站楼内服务水平、旅客舒适度的重要指标。通过对Ｅｒｌａｎｇ排队模型参数的求解以及性能的分析，并研究在机场航站楼中的适用条件，可以为航站楼功能区面积的研究提供理论依据。参考文献：
［１］陆传赉．排队论［Ｍ］．北京：北京邮电学院出版社，１９９４．
［２］龚光鲁，钱敏平．应用随即机过程［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４．［３］ＨａｒｔＷ．机场旅客航站［Ｚ］．北京：中国民用航空总局基建机场司／机
场设计院，１９８９．
［４］华兴．排队论与随机服务系统［Ｍ］．上海：上海翻译出版公司，１９８７．
［５］孙荣恒，李建平．排队论基础［Ｍ］．北京：科学出版社，２００２．
［６］于志青．排队论在交通工程中的应用研究［Ｊ］．中州大学学报，２００５
（１）：１１８—１１９．
［７］刘敏，杨远祥，李映红．信号交叉口红绿灯配时优化的休假排队模
型［Ｊ］．道路交通与安全，２０００（８）：７—９．
（责任编辑：王纪宽）
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