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摘要： 随着近⼏年关于复杂⽹络（Complex network）理论及其应⽤研究的不断深⼊，已有⼤量关于复杂⽹络的⽂章发表在
Science，Nature，RL，NAS等国际⼀流的刊物上，侧⾯反映了复杂⽹络已经成为物理界的⼀个新兴的研究热点。
随着近⼏年关于复杂⽹络（Complex network）理论及其应⽤研究的不断深⼊，已有⼤量关于复杂⽹络的⽂章发表在
Science，Nature，RL，NAS等国际⼀流的刊物上，侧⾯反映了复杂⽹络已经成为物理界的⼀个新兴的研究热点。⼈们开始尝试应⽤这种新的理论⼯具来研究现实世界中的各种⼤型复杂系统，其中复杂系统的结构以及系统结构与系统功能之间的关系是⼈们关注的热点问 题。[1]
在⾃然界中存在的⼤量复杂系统都可以通过形形⾊⾊的⽹络加以描述。⼀个典型的⽹络是由许多节点与节点之间的连边组成，其中节点⽤来代表真实系统中不同的个体，⽽边则⽤来表⽰个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连⼀条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在⽹络中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作⼤量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的⽹络[2]；计算机⽹络可以看作是⾃主⼯作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的⽹络[2]。类似的还有电⼒⽹络[3]、社会关系⽹络[2,4-5]、交通⽹络[6]、调度⽹络[7]等等。 复杂⽹络的研究由于其学科交叉性和复杂性的特点，涉及了众多学科的知识和理论基础，尤其是系统科学、统计物理、数学、计算机与信息科学等，常⽤的分析⽅法和⼯具包括图论、组合数学、矩阵理论、概率论、随机过程、优化理论和遗传算法等。复杂⽹络的主要研究⽅法都是基于图论的理论和⽅法开展的，并已经取得了可喜的成果。但近⼏年，统计物理的许多概念和⽅法也已成功地⽤于复杂⽹络的建模和计算，如统计⼒学、⾃组织理论、临界和相变理论、渗流理论等[8]，如⽹络结构熵的概念，并⽤它来定量地度量复杂⽹络的“序”。复杂⽹络模型在很多科学领域都得到⼴泛的应⽤。
参考⽂献：
一个死刑犯的遗嘱[1] 孙玺菁, 司守奎. 复杂⽹络算法与应⽤[M]. 国防⼯业出版社, 2015.
[2] Watts D J, Strogatz S H. Collective dynamics of 'small-world' networks.[J]. Nature, 1998, 393(6684):440.
[3] Faloutsos M, Faloutsos P, Faloutsos C. On power-law relationships of the Internet topology[J]. Acm Sigcomm Computer Communication Review, 1997, 29(4):251-262.
[4] Hofman J M, Sharma A, Watts D J. Prediction and explanation in social systems.[J]. Science, 2017, 355.
[5] Ebel H, Mielsch L I, Bornholdt S. Scale-free topology of e-mail networks[J]. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 2002, 66(3 Pt 2A):035103.
[6] 吴⽂祥, 黄海军. 固定需求交通⽹络的⼀般系统最优模型与性质[J]. 管理科学学报, 2015, 18(12):58-67.
[7] 宣琦，吴铁军. 复杂open shop问题的⽹络模型及调度规则设计[J]. 浙江⼤学学报(⼯学版),2011,(06):961-968.
[8] Albert R, Barabási A. Statistical mechanics of complex networks[J]. Review of Modern Physics, 2002, 74(1):47-97.
1. 复杂⽹络的研究历史
1736，欧拉：哥尼斯堡七桥问题；1950，Erdos, Renyi: 随机图论；1998，Strogatz, Barabasi:⼩世界和⽆标度⽹络。
两篇开创性的⽂章可以看作是复杂⽹络研究新纪元开始的标志：
⼀篇是美国康奈尔（Cornell）⼤学理论和应⽤⼒学系的博⼠⽣Watts及其导师、⾮线性动⼒学专家Strogatz教授于1998年6⽉在Nature 杂志上发表的题为《“⼩世界”⽹络的集体动⼒学》（Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的⽂章；
另⼀篇是美国Notre Dame⼤学物理系的Barabāsi教授及其博⼠⽣Albert于1999年10⽉在Science杂志
上发表的题为《随机⽹络中标度的涌现》（Emergence of Scaling in Random Networks）的⽂章。这两篇⽂章分别揭⽰了复杂⽹络的⼩世界特征和⽆标度性质，并建⽴了相应的模型以阐述这些特性的产⽣机理。⾄此，⼈们逐渐展开了对复杂⽹络的研究。
关于⽹络的研究，数学家早在两百多年前就开始了，他们已经发展出了成体系的理论与技术，⽽物理学家的进⼊只有⼗⼏年左右的历史！到底是什么⿎动物理学家来趟这塘浑⽔，他们的到来有意义吗？
在我们看来，研究对象特殊的尺度效应是召唤物理学家到来的根本原因。
数学家经典的⽹络理论，要么是分析包含⼏⼗数百个顶点，可以画在⼀张纸上从⽽形成直观印象的⽹络；要么是讨论不含有限尺度效应，可以精确求解的⽹络性质。“随机移⾛⼀个顶点会对⽹络的性能产⽣什么样的影响？”这个问题对于研究有限规则⽹络的数学家是有意义的，对于拥有⼏千万个节点，接⽅式复杂多样的真实⽹络⽽⾔，或许“随机移⾛ 3％的顶点会对⽹络性能产⽣什么样的影响？”这个问题更有意义。这个尺度的⽹络，是被物理学家称作“⾜够⼤”的⽹络，对它们的研究，需要使⽤统计物理的⽅法。
数学家和物理学家在考虑⽹络的时候，往往只关⼼节点之间有没有边相连，⾄于节点到底在什么位置，是长还是短，弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。在这⾥，他们把⽹络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做⽹络的拓扑性质，相应的结构叫做⽹络的拓
扑结构。
那么，什么样的拓扑结构⽐较适合⽤来描述真实的系统呢？两百多年来，这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的⼀百多年⾥，数学家们认为真实系统各因素之间的关系可以⽤⼀些规则的结构表⽰，如⼆维平⾯上的欧⼏⾥德格⽹，看起来像是格⼦体恤衫上的花纹；⼜或者最近邻环⽹，总是会让你想到⼀⼿牵着⼿围着篝⽕跳圆圈舞的姑娘。
到了⼆⼗世纪五⼗年代末，数学家们想出了⼀种新的构造⽹络的⽅法，在这种⽅法下，两个节点之间连边与否不再是确定的事情，⽽是根据⼀个概率决定。数学家把这样⽣成的⽹络叫做随机⽹络，在接下来的四⼗年⾥⼀直被很多科学家认为是描述真实系统最适宜的⽹络。直到最近⼏年，由于计算机数据处理和运算能⼒的飞速发展，科学家们发现⼤量的真实⽹络既不是规则⽹络，也不是随机⽹络，⽽是具有与前两者皆不同的统计特征的⽹络。这样的⼀些⽹络被科学家们叫做复杂⽹络（Complex Networks），对于它们的研究标志着第三阶段的到来。
国内学者对国外复杂⽹络理论研究的介绍最早始于汪⼩帆(2002)发表在国外杂志上的⼀篇⽂章[3]，⽂中回顾了近年来国外复杂⽹络研究所取得的重要成果，其中包括平均路径长度、聚集系数、度分布等⽹络度量，Internet、www和科学合作⽹络等现实系统，规则⽹络、随机⽹络、⼩世界⽹络、⽆标度⽹络等⽹络模型，以及复杂⽹络上的同步等。
神经质症
⽽在国内刊物上对国外复杂⽹络理论研究的介绍可追溯到朱涵(2003) [4]在《物理》杂志上发表的“⽹络‘建筑学”’，⽂章以⼩世界、集团化和⽆标度等概念为中⼼，介绍了复杂⽹络的研究进展。
自由绘画
之后，吴⾦闪等[5]从统计物理学的⾓度总结了复杂⽹络的主要研究结果，对⽆向⽹络、有向⽹络和加权⽹络等三种不同⽹络统计性质研究的现状分别作了综述，对规则⽹络、完全随机⽹络、⼩世界⽹络和⽆标度⽹络等⽹络机制模型进⾏了总结，并对⽹络演化的统计规律、⽹络上的动⼒学性质的研究进⾏了概括。
周涛等(2005)围绕⼩世界效应和⽆标度特性等复杂⽹络的统计特征及复杂⽹络上的物理过程等问题，概述了复杂⽹络的研究进展。alexa
刘涛等[6]从平均路径长度、聚集系数、度分布等复杂⽹络的统计性质，⼩世界⽹络和⽆标度⽹络等⽹络模型等层⾯简述了复杂⽹络领域的相关研究。
开同
史定华[7]从对⽹络节点度和度分布的理解⼊⼿，对⽹络分类、⽹络的演化机理和模型及结构涌现等⽅⾯取得的进展进⾏了总结。
遗憾的是，⽬前⽽⾔，科学家们还没有给出复杂⽹络精确严格的定义，从这⼗⼏年的研究来看，之所以称其为复杂⽹络，致少包含以下⼏层意思：⾸先，它是⼤量真实复杂系统的拓扑抽象；其次，它⾄
少在感觉上⽐规则⽹络和随机⽹络复杂，因为我们可以很容易地⽣成规则和随机⽹络，但就⽬前⽽⾔，还没有⼀种简单⽅法能够⽣成完全符合真实统计特征的⽹络；最后，由于复杂⽹络是⼤量复杂系统得以存在的拓扑基础，此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这⼀⾄关重要的问题。
参考⽂献：
[1] Watts D J, Strogatz S H. Collective dynamics of 'small-world' networks.[J]. Nature, 1998, 393(6684):440.
[2] Barabási A, Albert R. Emergence of Scaling in Random Networks[J]. Science, 1999, 286(5439):509-512.
[3] XIAO FAN WANG. COMPLEX NETWORKS: TOPOLOGY, DYNAMICS AND SYNCHRONIZATION[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2002, 12(5):885-916.
[4] 朱涵, 王欣然, 朱建阳. ⽹络“建筑学”[J]. 物理, 2003, 32(6):364-369.
[5] 吴⾦闪, 狄增如. 从统计物理学看复杂⽹络研究[J]. 物理学进展, 2004, 24(1):18-46.
[6] 刘涛, 陈忠, 陈晓荣. 复杂⽹络理论及其应⽤研究概述[J]. 系统⼯程, 2005, 23(6):1-7.尼龙套管
[7] 史定华. ⽹络——探索复杂性的新途径[J]. 系统⼯程学报, 2005, 20(2):115-119.
2. 复杂⽹络的统计特征
2.1平均路径长度L
在⽹络中，两点之间的距离为连接两点的最短路径上所包含的边的数⽬。⽹络的平均路径长度指⽹络中所有节点对的平均距离，它表明⽹络中节点间的分离程度，反映了⽹络的全局特性。不同的⽹络结构可赋予L不同的含义。如在疾病传播模型中L可定义为疾病传播时间，通⽹络模型中L可定义为站点之间的距离等。
2.2聚集系数C
在⽹络中，节点的聚集系数是指与该节点相邻的所有节点之间连边的数⽬占这些相邻节点之间最⼤可能连边数⽬的⽐例。⽽⽹络的聚集系数则是指⽹络中所有节点聚集系数的平均值，它表明⽹络中节点的聚集情况即⽹络的聚集性，也就是说同⼀个节点的两个相邻节点仍然是相邻节点的概率有多⼤，它反映了⽹络的局部特性。
2.3度及度分布
在⽹络中，点的度是指与该节点相邻的节点的数⽬，即连接该节点的边的数⽬。⽽⽹络的度<k>指⽹络中所有节点度的平均值。度分布P(k)指⽹络中⼀个任意选择的节点，它的度恰好为k的概率。
2.4介数
包括节点介数和边介数。节点介数指⽹络中所有最短路径中经过该节点的数量⽐例，边介数则指⽹络中所有最短路径中经过该边的数量⽐例。介数反映了相应的节点或边在整个⽹络中的作⽤和影响⼒。
2.5⼩世界效应
复杂⽹络的⼩世界效应是指尽管⽹络的规模很⼤(⽹络节点数⽬N很⼤)，但是两个节点之间的距离⽐我们想象的要⼩得多。也就是⽹络的平均路径长度L随⽹络的规模呈对数增长，即L～In N。⼤量的实证研究表明，真实⽹络⼏乎都具有⼩世界效应。
2.6⽆标度特性
对于随机⽹络和规则⽹络，度分布区间⾮常狭窄，⼤多数节点都集中在节点度均值<k>的附近，说明节点具有同质性，因此<k>可以被看作是节点度的⼀个特征标度。⽽在节点度服从幂律分布的⽹络中，⼤多数节点的度都很⼩，⽽少数节点的度很⼤，说明节点具有异质性，这时特征标度消失。这种节点度的幂律分布为⽹络的⽆标度特性。
3. 各种⽹络模型
3.1 规则⽹络
最简单的⽹络模型为规则⽹络，它是指系统中各元素之间的关系可以⽤⼀些规则的结构表⽰，也就是说⽹络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则，通常每个节点的近邻数⽬都相同。常见的具有规则拓扑结构的⽹络包括全局耦合⽹络（也称为完全图）、最近邻耦合⽹络和星型耦合⽹络。
3.2 随机⽹络
从某种意义上讲，规则⽹络和随机⽹络是两个极端，⽽复杂⽹络处于两者之间。节点不是按照确定的规则连线，如按纯粹的随机⽅式连线，所得的⽹络称为随机⽹络。如果节点按照某种⾃组织原则⽅式连线，将演化成各种不同⽹络。
3.3 ⼩世界⽹络
规则的最近邻耦合⽹络具有⾼聚类特性，但并不是⼩世界⽹络。另⼀⽅⾯，ER随机⽹络虽然具有⼩的平均路径长度但却没有⾼聚类特性。因此，这两类⽹络模型都不能再现真实⽹络的⼀些重要特征，毕竟⼤部分实际⽹络既不是完全规则的，也不是完全随机的。作为从完全规则⽹络向完全随机⽹络的过渡，Watts和Strogtz于1998年引⼊了⼀个⼩世界⽹络模型，称为WS⼩世界模型。
3.4 ⽆标度⽹络
很多⽹络（包括Internet和新陈代谢⽹络等）都不同程度拥有如下共同特性：⼤部分节点只有少数⼏个链接，⽽某些节点却拥有与其他节点的⼤量链接，表现在度分布上就是具有幂律形式，即P(k)~k—γ。这些具有⼤量链接的节点称为“集散节点”，所拥有的链接数可能⾼达⼏百、⼏千甚⾄⼏百万。包含这种集散节点的⽹络，由于⽹络节点的度没有明显的特征长度，故称为⽆标度⽹络。
3.5 ⾃相似⽹络
⾃相似是相似中的⼀种特殊情况，它是指系统的部分和整体之间具有某种相似性，这种相似性不是两个⽆关事物间的偶然近似，⽽是在系统中必然出现并始终保持的。这种⾃相似是层次复杂⽹络共有的拓扑性质，⽽⾃相似⼜是分型的⼀个基本特征，所以复杂系统与各层次⼦系统之间的⾃相似性，可以利⽤分形加以描述。
