银行钱荒的影响 算子
线性算子 非线性算子
阈值
§1 有界线性算子
1.1 有界线性算子的基本概念与性质
定义1.1 设及都是实（或复的）线性空间，是由的某个子空间到线性空间中的映射，如果对任意
，有
则称是可加的。若对任意的实（或复）数及任意的，有
则称是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。中使的元素的集合称为的零空间。
设是实（或复）数域，于是成为由到实（或复）数域的映射，这时称为泛函。如果还是线性的，则称为线性泛函。泛函或线性泛函常用等符号表示。
定义1.2 设及都是实或复的赋范线性空间，为的子空间，为由到中的线性算子。如果按照第六章§2.3定义2.6，是连续的，则称为连续线性算子。如果将中任意有界集映成中的有界集，则称是有界线性算子。如果存在中的有界集使得是中的无界集，则称是无界线性算子。
例 1 将赋范线性空间中的每个元素映成自身的算子称为上的单位算子，单位算子常以表示.将中的每个元素映成的算子称为零算子.
容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.
例 2 连续函数的积分
是定义在连续函数空间上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊
例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.印度将中国领土划入直辖区
定理1.1 设,期后事项都是实赋范线性空间，是由的子空间到中的连续可加算子.则国籍法满足齐次性，因此是连续线性算子.＊
推论 设长江上游,都是复赋范线性空间，是由的子空间到中的连续可加算子，且，则满足齐次性，因此是连续线性算子.＊
定理 1.2 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的线性算子.则有界的充要条件是存在，使得对一切，有.＊
＊定理1.3 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的线性算子.则下列性质等价：
(i) 连续；
(ii) 在原点处连续；
(iii) 有界.
由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.
为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量—算子的范数.
定义 1.3 设，都是赋范线性空间，是由的子空间到中的有界线性算子.使对一切都成立的正数的下确界称为的范数，记为.
因是集合
的一个上界，因此算子的范数作为所有上界的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，是上述集合的最小上界，即上确界，亦即
由此容易导出下列结论：
(i) 对一切，有.
