文章编号:1002-1566(2006)04-0492-02
收稿日期:2004年09月24日
邹植民 尹铁开
(湖南科技大学，数学与计算科学学院，湘潭,411201)
摘要：本文讨论电脑福利中奖号码出现连号数的概率，得到一些有趣的结果。 关键词：；连号数。
中图分类号:O212 文献标识码:A
The Probability of Continuous Numbers in Computer Welfare Lottery Tickets
ZOU Zhi 2min ,YIN Tie 2kai
(Hunan University of Science and Technology.College of Mathematics and Calculation ,Xiangtan ,411201)Abstract :In this paper we discuss the probability of the continuous numnbers and find out some interesting results.K ey w ords :lottery ticket the continuous numbers
电脑福利方案有多种，如35选7,22选5等。35选7即彩民从1～35中选7个号码组成一注，每注2元，然后摇奖得出基本号码，根据彩民选中的基本号码的个数设立中奖等级。若摇奖时摇出的基本号码为:01,03,04,11,15,17,18，则称出现两个双连号，若基本号码为03,05,09,10,11,19,32，则称出现一个3连号，如此类推。本文考虑出现这种连号现象的概率有多大。 设A (K )n =“从n 个数(1～n )中任取K 个数不出现连号的所有取法所成的集合”,μ(A (K )n )=集合A (K )n 所含元素的个数,B (K )i =A (K )n 中最小数码为i 的元素所成的集合，下面 先考虑B (K )1。
B (K )1中每个元素由K 个数码组成，将其由小到大排列时，第1个数码为1，由于不连号，第2个数码只能是3,4,…,n -2(K -2)，第3个数码的取法依赖于第2个数码，用框图表示
如下
设a (K )i 为B (K )1中元素的第i 个数码可供选择的整数个数，即框图中第i 横行数码的个
2006年 7月第25卷 第4期 数理统计与管理Application of Statistics and Management J ul 1,2006Vol 125 No 14
数，显然a (K )1=1,a (K )1=集合{3,4,5,…,n -2(K -2)}中整数的个数=n -2K +2=C 2n -2k +2,a (K )3=C 2n -2k +2+C 2n -2K +1+C 2n -2K +…+C 11=C 2n -2K +3，一般有如下的结果: 引理1 a (K )i =C i -1n -2K +i ,i =1,2,…,K (1)
证明：当i =1,2,3时已证，设i =l 时有a (K )l =C l -1n -2K +l ，当i =l +1时,a (K )l +1是B (K )1
中可供第l +1个数码选择的整数个数，记b (l )i =B (K -1)i 中可供第l 个数码选择的整数个数，由框图可知:
a (K )l +1=
b (l )3
+b (l )4+…+b (l )n -2(K-2)由于在3,4,…,n 取K -1个数包括3不连号的取法中每个数码减2对应于从1,2,3,…,n -2中取K -1个数包括1不连号的取法，并且这种映射是1—1到上的，再由归纳假设有
b (l )3=C l -1n -2-2(K-1)+l =C l -1
n -2K+1同理 b (l )4=C l -1n -2K +l -1,…,b (l )n -2(K -2)=C l -1l -1,
由[1]中组合公式有a (K )l +1=C l -1n +2K +1+C l -1n +2K +l -1+…+C l -1l -1=C l n -2K +l +1，于是当i =l +1
时引理1成立，从而引理1得证。
引理2：设μ=(B (k )l )为集合B (K )1所含元素的个数，则
μ(B (K )1)=C K-1n -K
(2)
证明：在(1)中令i =K 得μ(B (K )1)=a (K )K =C K -1n -K
定理：从n 个数1～n 中任取K 个数不连号的概率是P (A (K )n )=C K n -
K+1/C K n ,K Φ[n +1
2
]0, K >[n +1
2](3) 证明：当K ≤[n +1
2]时，因为μ(A (K )n )=μ(B (K )1)+μ(B (K )2)+…+μ(B (K )n -2(K -1))，由于
从2～n 中取K 个数包含2不连号的取法一一对应于从1～(n -1)中取K 个数包括1且不
连号的取法(将前面包括2的取法每个数码减去1即可)，再由(2)得μ(B (K )2)=C K -1n -1-K 。同
理,μ(B (K )3)=C K -1n -2-K ,…,μ(B (K )n -2(K -
1))=C K -1K -1。所以,μ(A (K )n )=C K-1n -K +C K-1n -K-1+…+C K-1K-1=C K n -K+1从而P (A (K )n )=C K n -K +1/
C K n 。 当K >[n +1
2]时，由于1～n 中不连号的整数个数不超过[n +1
2]个，因此有P (A (K )n )=
0。定理得证。
例如，对于35选7方案,P (A (7)35)=C 729/C 735≈0.232；对于22选5方案P (A (5)22)=C 518/C 522=
0.325，由此可见电脑福利中出现连号的概率比较大，对于35选7方案，中奖号码连号的概率是1-0.232=0.768，对于22选5方案，中奖号码连号的概率为0.675。“湖南风采”2003年下半年共20期(35选7)中奖号码中有16期出现连号现象，出现的频率与其概率很接近。[参考文献]
[1] 徐利治等.计算组合数学[M ].上海：上海科技出版社,198315.
[2] 邹植民等.概率论与数理统计[M ].长沙：湖南师范大学出版社,199515.394邹植民，尹铁开：电脑福利中奖号码连号的概率
