第37卷第5期农业工程学报V ol.37 No.5 68 2021年3月Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering Mar. 2021
刘兴华1,2，苑进1,3，李扬1,3，索金政1，刘雪美1,2※（1. 山东农业大学机械与电子工程学院，泰安271018；2. 山东省农业装备智能化工程实验室，泰安271018；
3. 山东省园艺机械与装备重点实验室，泰安271018）
摘要：气流辅助喷雾中，辅助气流能够使冠层叶片变形、拓宽雾滴输运通道，有助于提高雾滴在作物冠层内沉积均匀性。
为进一步研究辅助气流作用下叶片变形机理，以棉花叶片为研究对象，首先，在测定叶片力学参数的基础上，建立了棉花叶片双向流固耦合模型，并利用高速摄像技术验证了模型的有效性；进一步，借助耦合模型，以辅助气流风速、叶倾角、叶柄及叶面弹性模量为试验因素，以叶柄和叶面挠度值为评价指标，开展正交试验分析，得出试验因素影响叶片变形的显著性顺序依次为：气流速度、弹性模量、叶倾角；最后，基于非线性最小二乘法构建棉花叶片变形的参数辨识模型，所建的叶柄挠曲线方程的平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）为5.13%，叶面主叶脉挠曲线方程的MAPE
为10.43%，证明了叶片变形数学模型的有效性。依据建立的叶片变形模型，量化分析了不同风速与初始叶倾角参数组合下叶片迎风面积的动态变化过程，揭示了速度不恰当的辅助气流作用下冠层郁闭度增加的原因，明确了初始叶倾角为20°和30°时，棉花叶片的辅助气流末速度应分别不小于2.4和2.9 m/s。本研究为理解辅助气流喷雾中作物冠层郁闭度的动态变化、合理选取施药工作参数提供参考。
关键词：辅助气流；模型；叶片变形；流固耦合；参数辨识
doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.05.008
中图分类号：TP391.9 文献标志码：A 文章编号：1002-6819(2021)-05-0068-09
刘兴华，苑进，李扬，等. 采用双向流固耦合方法构建辅助气流作用下棉花叶片变形模型[J]. 农业工程学报，2021，37(5)：68-76. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.05.008
Liu Xinghua, Yuan Jin, Li Yang, et al. Deformation modelling of cotton leaf under assisted airflow using bidirectional fluid-structure coupling method[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2021, 37(5): 68-76. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.05.008
0 引 言
在生长发育中后期，棉花、玉米、大豆等作物具有枝叶茂密、叶面积指数大、冠层郁闭度高等特点，导致植保喷雾作业面临雾滴输运通道闭塞、冠层雾滴沉积不均匀难题。针对上述问题，目前多采用气流辅助喷雾[1-2]和吊杆喷雾[3-4]两种方式突破枝叶屏蔽，拓宽雾滴输运通道，以在冠层内上中下层实现更好的沉积均匀性。气流辅助喷雾方式提高药液雾滴在冠层内的沉积均匀性是通过以下两个方面来实现：一是对作物枝叶施加风力载荷，引起叶片变形，拓宽雾滴输运通道；二是提高药液雾滴运动速度，加强雾滴在冠层内的运移穿透能力[5]。因此，针对拓宽雾滴输运通道，分析辅助气流引起的叶片变形规律是理解作物冠层内部雾滴运移沉积规律和优化调控气流辅助喷雾作业参数的重要前提。
针对高郁闭度作物气流辅助喷雾，国内外学者在作物冠层与辅助气流场、雾滴沉积分布的相互影响方面开
收稿日期：2020-10-01 修订日期：2021-01-13
基金项目：国家自然科学基金项目（52075308）；山东省自然科学基金项目（ZR2019PC024）；山东省农业重大应用技术创新项目（SD2019NJ003）
作者简介：刘兴华，博士生，讲师，研究方向为植保装备与精准喷雾理论。Email：***************
※通信作者：刘雪美，博士，教授，博士生导师，研究方向为植保装备与精准喷雾理论。Email：*****
*********展了大量研究。魏新华等[4]针对棉花冠层施药时枝叶遮挡问题，提出冠内冠上组合风送式喷杆结构，有效提高了冠层雾滴沉积均匀性；李龙龙等[6]根据LiDAR扫描获取的果树形态特征，采用仿形变量风送式喷雾方式，提高了药液利用率和沉积均匀性。上述机型设计与试验结果表明，作物冠层特征影响雾滴沉积分布。许童羽等[7]分析无人机雾滴在水稻冠层沉积分布，发现雾滴沉积分布与下洗气流关联度高，并受到水稻冠层枝叶的影响；孙诚达等[8]研究发现风送喷雾模式下雾滴穿透比例随叶密度、取样深度的增加而减少；Duga等[9]开展对苹果、梨树的田间喷雾试验，研究发现冠层孔隙率和体积显著影响辅助气流喷雾过程中雾滴的靶标沉积状况，并且雾滴沉积与辅助气流存在强关联性。考虑到辅助气流对雾滴沉积分布的重要影响，Endalew等[10-11]和Hong等[12]分别建立果树冠层枝叶的等效多孔介质模型，探究了冠层枝叶分布和密度对气流场分布和风速衰减的重要影响；Li等[13]分析了无人机旋翼风场在水稻冠层内部的分布，发现冠层高度越低，风场等效面积衰减率越大。上述研究侧重于作物枝叶对冠层风场分布和风速衰减的影响，并证实了作物枝叶对风送雾滴沉积分布的影响，证明了开展辅助气流与冠层枝叶交互研究的必要性。但是，目前辅助气流作用下作物叶片变形的研究较少。刘希凤等[14]研究了风载激励下王棕、散尾葵等6种叶片的最大变形量，揭示了气流与叶面夹角对变形影响显著。目前，尚未发
第5期 刘兴华等：采用双向流固耦合方法构建辅助气流作用下棉花叶片变形模型
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现针对棉花叶片的风力载荷变形研究。
本文以棉花叶片为研究对象，建立风力载荷下棉花叶片弯曲变形的双向流固耦合模型，以叶片弹性模量、叶倾角、辅助气流流速三因素开展正交试验，量化分析辅助气流下棉花叶片的变形行为，建立棉花叶柄、叶面弯曲变形的数学模型，以叶片迎风面积变化率为指标，分析了不同参数组合下叶片迎风面积的变化规律。
1 棉花叶片仿真模型构建与验证
1.1 棉花叶片参数测定 1.1.1 叶片尺寸
棉花叶片取自山东省泰安市山东农业大学农学实验
站（117.168177°E ，36.165072°N ），棉花品种为鲁棉研37号。由于花铃期枝叶茂密、冠层郁闭度高，是气流辅助喷雾的主要作业时期，因此在花铃期前期、中期、后期3个批次采集试样。为考虑不同部位叶片的叶龄差异，将棉花冠层沿垂直方向分为上、中、下3层，在每层随机采集3片叶面和3根叶柄试样，两种试样各有27份。
为后续仿真建模和力学参数测定的需要，用直尺测量叶面的长度与宽度、叶柄长度，用游标卡尺（150 mm ，0.01 mm ）测量叶柄直径（始端、中部、末端测量值取平均），尺寸数据见表1。同时，
为避免试样失水影响参数测定准确性，对叶面和叶柄试样编号并装入自封袋内，迅速转移至试验室内进行力学参数测定。
表1 不同棉花冠层的叶面和叶柄试样尺寸参数
2 (85, 96) (101, 1.35) (127, 145) (128, 2.75) (85, 98) (96, 3.25) 前期 Prophase
3 (95, 107) (90, 2.36) (129,146) (135, 1.85) (96, 110) (107, 1.45) 1 (103, 116) (109, 1.90) (130, 148) (129, 2.35) (116, 132) (121, 1.50) 2 (110, 125) (121, 1.55) (129, 152) (138, 2.90) (103, 107) (112, 2.60) 中期 Metaphase 3 (116, 132) (113, 1.85)
(125, 124) (118, 1.40) (94, 101) (104, 2.15) 1 (102, 107) (98, 1.60) (104, 107) (115, 2.32) (109, 112) (107, 1.78) 2 (113, 118) (108, 2.20) (135, 141) (123, 1.65) (103, 104) (113, 2.30) 后期 Anaphase
3
(109, 107)
(112, 2.10)
(105, 113)
(116, 2.32)
(113, 117)
(118, 1.98)
1.1.2 叶片弹性模量
借助物性分析仪（TA-XT.Plus 英国Stable Micro Systems 公司），采用三点弯曲法测定棉花叶片叶面和叶柄部分的弹性模量[15]。将待测试样放置在支撑立壁上，探头垂直向下运动，探头下压过程中采集试样中点挠度值和载荷增量值。物性分析仪参数设定：探头：P5（曲率半径5 mm ）；测试模式：压缩；目标模式：位移；数据采集频率：400 Hz ；支撑立壁跨度：20 mm ；测前速度和测中速度设为1 mm/s ，测后速度设为10 mm/s 。在叶柄始端和中部截取2段长度为25 mm 的试样，借助物性分析仪获取其应力-位移曲线，利用公式（1）求得叶柄弹性模量E p ；沿叶面主叶脉方向，在叶面根部、中部、尾部截取3块长度为25 mm 、宽度为10 mm 的试样，借助物性分析仪获取其应力-位移曲线，利用公式（2）求得叶面弹性模量E l [16]，测量过程如图1所示。
1.探头连接杆
2.P5探头
3.支撑立壁
4.叶柄或叶片
5.底座
6.分析仪平台 1.Connecting rod of probe 2.P5 probe 3. Supporting wall 4.Petiole or leaf 5.Base 6.Analyzer platform
图1 三点弯曲法测定试样力学参数
Fig.1 Measurement of sample mechanical parameter based on
three-piont bending method
3p =48L F E I
（1）
32
l =148L F E I
（2）
式中ΔF 为载荷增量，N ；Δδ为中心挠度增量，mm ；L 为水平支架跨距，mm ；I 为惯性矩，mm 4；v 为泊松比，叶面泊松比0.32，叶柄泊松比0.34[17]； 1.1.3 叶片含水率
试样含水率测定采用105 ℃烘干法，参照GB/T1931-2009标准的规定开展试验。将测定完力学参数的新鲜棉花试样快速转移至精密电子天平（FA1004 宁波市鄞州华丰电子仪器厂）内进行称量，测量精
度为0.000 1 g ，然后将试样转至真空干燥箱（DZF-6050上海实业有限公司）内，在（105±2）℃温度下烘干8 h ，取出放干燥器中冷却后立即称量，重复烘干3 h ，冷却后再次称量，连续两次干质量之差不大于0.001 g ，停止烘干，获得试样恒质量，计算试样含水率。 1.1.4 参数测定结果与分析
统计叶面和叶柄材料的弹性模量，剔除异常数据样本，获得叶面弹性模量中位数为46.5 MPa ，95%置信区间为[28.5, 64.5] MPa ；叶柄弹性模量中位数为244.6 MPa ，95%置信区间为[215.5, 273.69] MPa 。叶柄含水率中位数为87.2%，95%置信区间为[82.5%, 91.9%]，叶面含水率中位数为80.7%，95%置信区间为[72.3%, 89.1%]。根据获取的试验数据，对25份叶面材料的弹性模量相关性分析表明，Pearson 相关系数为r =0.171 (P >0.05)，相关性不显著；对24份材料的弹性模量与含水率相关性分析表明，
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Pearson 相关系数为r =−0.174 (P >0.05)，相关性不显著。其原因可能在于，棉花叶面、叶柄含水率普遍较高而纤维含量均比较低；试样弹性模量主要受纤维含量的影响，而受含水率的影响较小。因此，后续正交试验不将含水率纳入试验因素。
1.2 叶片变形流固耦合模型构建
流固耦合现象是由流体域与固体域相互影响而产生的，其分析求解包括流场的非定常计算和结构体的瞬态动力学分析两部分构成。本文关注的辅助气流作用下棉花叶片的变形行为分析是典型的流固耦合现象。在本文的分析过程中，流体计算采用Fluent 模块，固体计算采用 Transient Structural 模块，利用ANSYS 的system coupling 模块实现流场和结构体的数据交互，并采用顺序求解方式，依次求解流体域与固体域。 1.2.1 控制方程
考虑辅助气流作用下棉花叶片的变形过程，辅助气流的流动是三维不可压缩流体的低速流动，其雷诺平均N-S 方程为[18-19]
()()()0i v i v i v t x y z F F G G H H Q （3）
式中T (,,,,)u v w E Q 为守恒变量向量；F i 、G i 、H i 为对流项通量向量；F v 、G v 、H v 为黏性项通量向量。 辅助气流载荷作用下，棉花叶片的瞬态动力学分析式为[20]
()t F Mu Cu Ku （4） 式中M 、C 、K 分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
u
、 u 、u 分别为节点的加速度向量、速度向量和位移向量；F (t )为风力载荷向量。 1.2.2 计算模型
棉花叶片外形特征：阔卵形，长宽近相等，多见3浅裂，少有5裂[21]。建立3裂棉花叶片三维模型，如图2所示。依据气流辅助喷雾主要作业期（花铃期）的鲁棉研37号棉花的掌状3裂叶片外形和采集的叶片试样的统计均值，确定模型尺寸参数：叶柄长110 mm ，叶面宽120 mm ，叶面长110 mm 。由于本文主要关注棉花叶片在辅助气流速度、叶倾角、叶片力学参数等因素影响下叶片变形及迎风面积变化规律等内容，同时器官生长的同伸关系使得叶面叶柄尺寸比例基本保持不变，因此分析过程不对叶片尺寸参数进行调整。流体计算域边界：4个侧立面距离叶片边缘均为150 mm ，设置为自由出口；上平面距离叶片200 mm ，设置为速度入口；下平面距离叶片300 mm ，设置为自由出口。
图2 仿真模型 Fig.2 Simulation model
棉花叶片由叶柄和叶面两部分构成，采用分块网格划分方式生成六面体网格；流体域采用ANSYS Me
shing 的CFD 网格划分方式，网格增长率为1.15。流体域求解过程中，使用动网格技术模拟棉花叶片在风力载荷下的动态变形过程，网格光顺采用Diffusion 方式，叶片上下迎风面设定为耦合交界面，压力速度耦合采用Coupled 算法；固体域求解过程中，求解器控制开启Large Deflection 功能；在System Coupling 模块中设置固体域和流体域的时间步长为0.001 s ，最小迭代步数为1步，最大迭代步数为5步，仿真计算时间为0.5 s 。在辅助气流下棉花叶片变形高速图像试验中，当风速处于适宜棉花施药农艺要求的范围时（1.5～3 m/s ）[22]，叶片尖端的变形量小，而叶片沿叶柄和叶面主叶脉弯曲变形明显，并且叶柄约叶面结合部的变形幅度最大。因此，沿叶片中轴线，选择叶柄中点、叶柄末端、叶面形心、叶尖4个监测点，用于记录分析叶片不同位置的变形情况。 1.3 耦合模型有效性验证
采用高速摄像机（Phantom VEO410L ，Vision Research ），搭配微距镜头（Nikon AF-S VR ，105 mm f/2.8G ），使用数码灯（LED-200B ，5600 K ，20 000 Lm ）对棉花叶片进行补光，保持摄像机光轴垂直于参照平面和运动平面，拍摄和记录棉花叶片的动态变形过程。借助TEMA 图像后处理软件分析叶片不同部位的变形量，对流固耦合模型的有效性进行验证。
气流辅助喷雾施药过程中，冠层内的棉花叶片以不同的迎风角度承受风力载荷，发生弹性变形。因此，以气流速度u 、叶倾角β（即叶片腹面法线与天顶轴的夹角）、叶柄弹性模量E p 和叶面弹性模量E l 为变量，以叶柄末端、叶柄中点、叶面形心、叶尖挠度为指标，对耦合模型进行验证。依据末速度原则[22]，风送喷雾机的风送气流末速度为2 m/s [4]，考虑不同部位叶片的风速差异，风速范围定为1.
5～3.0 m/s 。依据棉花叶倾角分布概率密度函数[23]，盛花期叶片的叶倾角处于0°～30°的概率为83.3%，其余角度所占概率之和为16.7%，本文选取的叶倾角范围为0°～30°。由于器官发育的同伸关系，叶柄与叶面的弹性模量随叶龄具有相同的变化规律[5]。因此，叶柄和叶面弹性模量视作1个参数组合。
试验研究中发现，由于辅助气流吹动时叶片快速失水、萎蔫影响变形准确性，辅助气流作用下叶片变形试验的开展难度大。因此，为充分验证耦合模型在风速取值域内、弹性模量分布范围内的有效性，同时减小验证试验工作量，测定和遴选了4种不同力学参数的叶片，与不同的风速、叶倾角组合，开展验证试验，具体参数组合见表2。
试验前，在叶片夹持工作台前设置四象限标记点，用于建立参照平面；在叶柄中点、叶柄末端、叶面形心及叶尖设置四象限标记点作为运动追踪点，用于记录叶片变形量，试验布置如图3a 所示。试验中，对于每一叶片，重复拍摄3段高速动态图像，用于后续的变形数据提取。试验后，利用TEMA 软件进行图像后处理。由于
第5期 刘兴华等：采用双向流固耦合方法构建辅助气流作用下棉花叶片变形模型
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辅助气流作用下棉花叶片处于动态变形过程，因此采用多重平行面方法在参照平面进行尺寸标定，根据参照平面与叶片运动平面的距离进行纵深补偿，利用Tracking 功能获得叶柄和叶面标记点的变形数据，取3次试验的均值。
表2 用于模型验证的3种试验参数组合
Table 2 3 combinations of experimental parameters for model
validation
试验序号 Test No.
气流速度 Airflow speed u /(m·s -1) 叶倾角 Inclination angle β/(°)
叶柄/叶面弹性模量 Petiole/leaf elastic modulus (E p , E l )/MPa
1 1.5 0 (221.3，29.4)
2 2.0 0 (249.3，43.5)
3 2.5 10 (260.2，60.9) 4
3.0
20
(238.7，
37.6)
图3 气流作用下叶片变形试验与仿真
Fig.3 Leaf deformation tests and simulation under airflow
根据表2试验参数，设置叶片双向流固耦合模型的仿真参数，在叶柄末端和叶面形心设置监测点，获取4种参数组合下的叶柄和叶面变形数据，如图3b 所示。对比耦合仿真与高速摄像结果，如表3所示，4种参数组合下相对误差最大值为9.85%；同时，分析耦合仿真中棉花叶片的动态变形特点，发现叶柄和叶面结合部发生较大幅度应变，进而导致叶面沿风速方向弯转，与实际试验中棉花叶片的变形特点一致。上述结果表明本文所建立的棉花叶片双向流固耦合模型能够有效仿真辅助气流作用下棉花叶片的变形过程，可以为变形规律分析与数学模型构建提供支持。
表3 基于耦合模型的叶片挠度值仿真误差统计
Table 3 Simulation error of leaf deflection based on coupling
2 3.41/3.56 17.87/19.18 40.65/43.97 79.57/81.21 8.2
3 5.42/5.68 28.12/30.89 60.76/65.21 109.8/113.6 9.9 4
5.77/
6.03
34.23/35.37
80.31/82.53
141.5/145.1
4.5
2 棉花叶片弯曲变形数学模型构建
利用搭建的棉花叶片流固耦合模型，考虑辅助气流风速、叶倾角、叶柄及叶面力学参数等因素，对辅助气流作用下棉花叶片变形开展正交试验分析，依据材料力学原理并结合正交试验因素显著性排序，确定叶片变形数学模型框架，使用叶片变形仿真数据，通过最小二乘
参数辨识方法识别模型参数，建立辅助气流作用下棉花叶片变形数学模型。 2.1 正交试验 2.1.1 试验
方案
在正交试验设计中，以气流速度u 、叶倾角β、叶柄与叶面弹性模量（E p ，E l ）为试验因素，各因素在参数取值域内均匀选取4个水平，确定正交试验水平及方案如表4。选用L 16(45)正交试验表，以叶柄中点挠度、叶柄末端挠度、叶面形心挠度和叶尖挠度为试验指标，开展正交试验。
表4 正交试验因素水平表
Table 4 Factor level table for orthogonal test
水平 Levels u /(m·s -1) β/(°) (E p , E l )/MPa 1 1.5 0 (215.5, 28.5) 2 2.0 10 (234.9, 40.5) 3 2.5 20 (254.3, 52.5) 4
3.0
30
(273.7, 64.5)
2.1.2 试验结果与分析
正交试验结果如表5。
表5 正交试验方案及结果
1 1 1 1 2.898 15.040 37.115 71.157
2 1 2 2 2.575 15.092 34.256 63.84
3 3 1 3 3 2.217 13.465 30.020 55.673
4 1 4 4 1.601 10.796 24.210 45.618
5 2 1 2 3.783 20.673 46.26
6 85.074 6 2 2 1 4.53
7 23.994 58.342 110.07 7 2 3 4 4.084 22.569 48.774 88.409
8 2 4 3 4.236 23.50
51.540 93.974
9 3 1 3 5.319 29.185 62.375 110.45 10 3 2 4 5.475 29.236 62.027 109.99 11 3 3 1 5.638 31.167 72.483 131.33 12 3 4 2 5.824 34.731 75.576 135.01 13 4 1 4 6.085 33.266 69.725 122.7 14 4 2 3 6.702 36.640 76.124
131.0
15 4 3 2 6.352 37.653 80.054 140.15 16
4
4
1
6.140
35.718 79.660 135.42
对叶柄中点、末端和叶面形心、叶尖的变形量开展极差分析。由表6知，4个监测点的挠度变化过程中，风速u 、叶倾角β和叶片力学参数（E p ，E l ）3个因素对4个挠度试验指标的影响从大到小均为：u 、（E p ，E l ）、β。排序结果表明辅助气流喷雾作业中风速u 对叶片变形影响最大。
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表6 叶片变形影响因素极差分析
Table 6 ANOR of influence factors of leaf deformation
监测点 Monitoring Point 因素 Factors 极差 Range u 4 β 0.37 叶柄中点 Petiole middle
（E p , E l ）
0.49 u
22.22 β 1.70 叶柄末端 Petiole end
（E p , E l ）
3.07 u
44.99 β 3.96 叶面形心 Leaf centroid
（E p , E l ）
10.72 u
73.25 β 5.15 叶尖 Leaf tip
（E p , E l ）
20.31
2.2 叶片变形数学模型
2.2.1 叶片受力变形基本方程
棉花叶片由叶柄和叶面两部分构成，由于两部分的生物力学参数差异较大，同一个挠曲线模型、同一组模型参数不易取得理想的建模精度。考虑到叶面的变形和叶面积变化是在叶柄弯曲变形基础上由叶面的弯曲变形引起的，本文对耦合模型提供的叶面变形数据分成叶柄变形分量和叶面变形分量两部分，先后建立了叶柄和叶面主叶脉的挠曲线方程，从而获得辅助气流作用下叶片变形的数学模型。叶柄呈长轴状，末端承受叶面带来的辅助气流风力载荷，可视为悬臂梁结构[14]。构成叶面的叶肉和叶脉两部分的刚柔耦合比值较高，主叶脉是主要的机械支撑结构；气流作用下叶片弯曲过程，可视为叶
面均布载荷下主叶脉悬臂梁的弯曲变形[24-25]。因此，本文对两部分均以材料力学中悬臂梁受力变形的挠曲线方程为框架，利用正交仿真获取的多监测点变形量数据，确定最优辨识参数，建立辅助气流作用下棉花叶片变形数学模型。
悬臂梁在集中载荷作用下发生弹性小变形，其挠曲线方程为[26]
()()M x P L x （5）
()()EIw x M x （6）
式中M (x )为受力弯矩，N·m ；P 为集中载荷作用力，N ；
L 为悬臂梁长度，mm ；x 为挠度值分析点的横坐标，mm ；w (x )为悬臂梁x 处的挠度值，mm ；E 为材料弹性模量，MPa ；I 为悬臂梁惯性矩，mm 4。
辅助气流作用下，棉花叶面是主要的风力载荷承受部位；初始瞬间，叶面没有发生弹性变形，属于刚性体，其风力载荷为[27]
1
cos()2
2P u S （7）
式中ρ为空气密度，1.293 kg/m 3；u 为辅助气流速度，m/s ；
S 为棉花叶片面积，mm 2
；β为叶片叶倾角，(°)。 2.2.2 模型参数辨识算法
棉花叶片风载变形建模可归类为已知基的非线性辨
识问题，即可以将非线性项写成待辨识参数乘以已知基的形式，利用过参数化方法并结合线性系统的辨识方法，如最小二乘算法、随机梯度算法、极大似然估计算法等来辨识非线性系统的参数[28]。柔性棉花叶柄的受力变形，可视为在悬臂梁末端施加变化的风力集中载荷时悬臂梁的非线性大变形。联立式（5）～（7），构造挠曲线函数框架；考虑叶片变形的非线性特点，设计风速二次多项式（包含k 1、k 2、k 3）代替原风速平方项，设计考虑叶片风载变形的叶倾角指数式（包含k 4）代替原叶倾角常数项，设计叶柄长度指数式（包含k 5）代替原叶柄长度一次多项式变量[29]。叶柄挠曲线方程为
()cos()12p S
w x EI
U βL （8）
式中w p (x )为叶柄横坐标x 处的挠度值，mm ；其中，
2123k u k u k U ，风速二次多项式，m/s ；4=e k u β，考虑变形的叶倾角修正值，(°)；2
52e x k L L L
L ，考虑非线性大变形的叶柄长度变量，mm ；
12345=,,,,p k k k k k θ，待辨识参数向量。
棉花叶面的受力变形，可视为叶面均布载荷下主叶
脉悬臂梁的弯曲变形过程[25]。因此，在考虑风速、风力载荷动态变化和非线性大变形等因素的同时，叶面主叶脉挠曲线方程可表示为
12()cos()12l S
w x k EI U βL （9）
式中w l (x )为叶面主叶脉横坐标x 值处的挠度值，mm ；其中，2678k u k u k U ，风速二次多项式，m/s ；
910+=e k u k β，考虑变形的叶倾角修正值，(°)；2
112e
x k L L L
L ，考虑非线性大变形的叶柄长度变量，
mm ； 6789101112=,,,,,,l k k k k k k k θ，辨识参数向量。 基于信赖域的最小二乘法是辨识非线性数学模型中待定参数的有效方法，信赖域迭代法能够更好地解决局部极值问题[30]。棉花叶柄和叶面挠曲线方程中，参数向量θp 和θl 的辨识可借助上述方法进行，其最小二乘法的目标函数如式（10）所示；利用正交试验获取的棉花叶柄和叶面挠度数据，其信任域算法迭代计算如式（11）所示。
T =()()argmin w w θ
θ
（10） 式中θ*
为根据试验数据利用最小二乘法获取的叶柄或叶面挠曲线最优辨识参数向量。
T 1T 1()k k k k k k w θθA A A
（11）
其中
1111
11()()()()()()()k k k n k m k m k k n w w w w w w
θθθA θθθθ （12） 式中A (θk )为关于挠曲线方程w (θk )的Jacobian 矩阵；m 为
