第49卷第11期 当 代 化 工 Vol.49，No.11 2020年11月 Contemporary Chemical Industry November，2020
基金项目：国家自然科学基金(项目编号：61773190, 61703191)；辽宁省自然科学基金(项目编号：20180550905, 2019-KF -03-05)。 收稿日期：2020-02-18
武梓涵，施惠元，苏成利*
（辽宁石油化工大学 信息与控制工程学院，抚顺 113001）
摘 要：针对一类工业过程中系统存在着外界扰动及不确定性等问题，提出一种基于扩展跟踪误差的鲁棒模型预测控制（RMPC）方法。与传统状态空间模型不同，采用带有系统状态增量和输出跟踪误差的状态空间扩展模型，使系统在消除稳态误差的同时，可以分别调节系统状态的动态响应和输出跟踪误差。基于该模型下设计的系统控制律不但保证了系统的收敛性和跟踪性能，还为控制器的设计提供更多的自由度。在此基础上，通过差分方程构建李雅普诺夫（Lyapunov）函数，得出保证系统稳定的线性矩阵不等式（LMI）形式的充分条件。此外，考虑到未知有界干扰以及不确定性对系统性能的影响，将H 无穷性能指标引入到稳定性条件推导中。最后，在线求解LMI 来获得系统的控制律，并 通过仿真验证本文提出方法的有效性和可行性。 关 键 词：鲁棒模型预测控制（RMPC）；跟踪误差；不确定性；系统扰动；H 无穷
中图分类号：TP 273 文献标识码：A 文章编号： 1671-0460（2020）11-2592-06
Robust Model Predictive Control Based on Extended Tracking Error
WU Zi-han, SHI Hui-yuan, SU Cheng-li *
（School of Information and Control Engineering, Liaoning Shihua University, Fushun 113001, China ）
Abstract : Aiming at the problems of external disturbance and uncertainty in a class of industrial processes, a robust model predictive control （RMPC ） method based on extended tracking error was proposed. Being different from the traditional state space model, a state space expansion model with system state increment and output tracking error was adopted so that the system could adjust the dynamic response of the system state and output tracking error while eliminating the steady state error. The system control law was designed based on this model, which not only guaranteed the system's convergence and tracking performance, but also provided more freedom for the design
of the controller. The Lyapunov function was constructed by the difference equation, and sufficient conditions in terms of linear matrix inequality （LMI ） form were given to ensure the stability of the system. In addition, considering the influence of unknown bounded disturbance and uncertainty on system performance, the H infinite performance index was introduced into the derivation of the stability condition. Finally, the system's control law was obtained by online solving LMI, and the validity and feasibility of the proposed method were verified by simulation.
Key words : Robust model predictive control （RMPC ）; tracking error; uncertainty; system disturbance; H infinite
随着现代工业的快速发展，对产品质量要求的日益严格，不同控制回路间关系更加复杂，传统的控制方法有烦琐的计算量和一定的保守性，在后期的操作和维护上不能满足工业生产的需求[1]。因此，为了解决这一问题，迫切需要提出新的控制方法来保证系统高效稳定的运行[2]。其中，模型预测控制（MPC）被公认为最具有应用价值的先进过程控制方法，并受到学者们的广泛关注与研究[3-4]。
WANG [5]等提出一种基于非最小状态空间的模型预测控制方法，解决系统多变量问题处理的同时，可以对系统的控制律进行在线优化。孔小兵[6]等将模型预测控制作为主要控制方法应用在永磁电机系统中，取代了常规线性控制，该方法能在线处理系统输入、输出和状态约束等问题，具有良好的动态控制性能。但考虑到系统本身不确定性等因素的影
响，过程模型与被控对象之间可能会出现失配问题，从而大大降低模型预测控制的性能。而鲁棒控制可以有效解决系统不确定性问题。为此，在保留模型预测控制优点的基础上，许多学者将鲁棒控制思想引入模型预测控制策略中，提出了鲁棒模型预测控制（RMPC）方法，并迅速成为工业控制领域的研究热点[7-8]。TORGASHOV [9]等将鲁棒模型预测控制方法应用在蒸馏塔的被控对象中，与传统控制方法相比，该方法解决了系统不确定性对模型的干扰问题，能灵活处理系统多回路间的控制约束，使蒸馏塔具有更优的控制性能。但在控制器的设计上没有考虑到系统会受到未知有界扰动的影响，在实际应用中可能会出现系统超调等现象。马大中[10]等针对非线性无穷分布时滞参数不确定系统，设计了一种能够保证滤波误差系统渐进稳定的鲁棒H 无穷滤波
DOI:10.ki21-1457/tq.2020.11.055
第49卷第11期 武梓涵，等：基于扩展跟踪误差的鲁棒模型预测控制 2593
器，能够满足H 无穷的性能指标。然而上述所提出的方法均采用传统状态空间模型，使得系统的跟踪
性能和控制性能存在一定的局限性。
针对上述所存在的问题，本文提出一种基于扩展跟踪误差的鲁棒模型预测控制方法。采用增量式的状态空间模型，将输出跟踪误差扩展到状态空间模型中，保证系统状态和输出跟踪误差可以同时收敛，
提高了系统的跟踪性能和控制性能，并且增加控制器调节的自由度。此外，考虑到未知有界干扰以及不确定性对系统性能的影响，将H 无穷性能引入到稳定性条件的推论中，使系统具有较强的抗干扰能力。最后，通过仿真验证本文方法的有效性和可行性。
1 问题描述
考虑由以下状态方程描述的一类具有未知有界
扰动的不确定状态空间模型：
()()()()()()()()()()1ΔΔx k A A k x k B B k u k ωk y k Cx k ⎧+=++++⎪⎨=⎪⎩。
（1） 式中，()()()(),,,y
n n
m
x k u k y k k ω∈∈∈R R R 是表示k
在离散时刻的系统状态、输入、输出和未知有界干扰，,,n m y n 是其对应的维数。,A B 是相应维数的
常
数矩阵，
()Δ,A k ()ΔB k 是在离散k 时刻的不确定性摄动，可表示为：
()
()[]
1
2A k B k EH F F ∆∆=⎡⎤⎣⎦。
（2）
式中，12,,E F F 是相应维数的已知常数矩阵，H
满足:
T H H I ≤。 （3）
其中，I 表示适当维数的单位矩阵。
引理1[11]：当给定具有适当维数的矩阵,Y E 和F ，Y 其中是对称的，且：
T T T 0Y EHF F H E ++≤。 （4）
则对所有满足T H H I ≤的矩阵成立，当且仅存在一个常数0ε>，使得下式成立：
T 1T 0Y EE FF εε-++≤。 （5）
引理2 [12]：当给定具有适当维数矩阵的,N L 和
S ，若存在式（6）
： T -0L SL N ≤ 。
（6）
可得式（7）：
T -1-0-N L L
S ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
≤
。
（7）
引理3[13]：当0γ＞时，在渐近稳定初始条件和任意未知有界扰动()ωk 情况下，系统输出变了()
z k 满足2
z γω≤。
2 扩展跟踪误差的RMPC 设计
2.1 扩展状态空间模型
在式（1）左右两边分别相乘后移因子∆，得：
()()()()()()()()1x k A k x k B k u k k y k C x k ∆+=∆+∆+⎧⎪⎨∆=∆⎪⎩ω 。
（8） 式中，
()()()()1Δ1,ΔΔ11q ωk A k A k x k -=-=---+⎡⎤⎣⎦
()()()()ΔΔ11Δ.B k B k u k ωk ---+⎡⎤⎣⎦定义设定值为()c k ，
则系统跟踪误差()e
n e k ∈R 可表示为：
()()()
e k y k c k =- 。 （9）
综合式（8）和（9）可得：
()()()()()
()()()()
1e k e k C A k x k C B k u k C k ω+=+∆+∆+。
（10）
综合式（8）和式（10），具有不确定性和未知有界干扰的扩展状态空间模型可表示为：
()()()()()()()()()
()()()1x k A k x k B k u k G k k y k Cx k z k e k Mx k ω⎧+=+∆+⎪
∆=⎨⎪==⎩
。
（11） 式中，
()()()()()
()()()()()()()()[][][][]121122Δ,
Δ0,
Δ0,Δ,
Δ,
Δ,Δ,,
0,0,
,0,00,
x k x k e k A A k A k C A A k I A A A k EHF CA I B B k B k C B B k B E B B k EHF E CB CE F F F F I G C C M I C ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
+⎡⎤=⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦+⎡⎤
=⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
2594 当 代 化 工 2020年11月
基于上述分析，系统的控制律可以设计为：
()()()()x k u k Kx k K e k ⎡∆⎤
∆==⎢⎥
⎣⎦
。
（12）
式中，K 是控制器的增益。将式（12）代入式
（11）中，得：
()()()()()()()()()1x k A k x k G k k y k Cx k z k e k ω⎧+=+⎪⎪
∆=⎨⎪=⎪⎩
（13）
式中，()()()A k A k KB k ⎡
⎤=+⎣⎦
。
式（13）是本文设计的扩展状态空间模型，包括系统状态变量和输出跟踪误差，可以同时调节系统的状态响应与输出跟踪误差，不仅可以保证系统收敛，还可以提高系统跟踪性能，并且为系统的控制器提供更多调节的自由度。
基于上述扩展模型式（13），系统优化可描述为如下min-max 优化问题：
()()()()
()()
()
()
()()
,0
T
10T
1min max u k i k i i J J k x k i k Q x k i k u k i k R u k i k ∞
∆+≥∞
∞=⎡=++⎢⎣
⎤
+∆+∆+⎦∑。
（14）
式中，110,0Q R ≥≥分别是相应维数的加权矩阵。 引理4[14]：考虑到一个李雅普诺夫函数
()()V x k i +=()()()()T
,(0)x k i P x k i P ++>当系统稳定
时，满足以下条件：
()()()()
()()()()T 1
T 1111V x k i k V x k i k x k i k Q x k i k u k i k R u k i k ++-+⎡⎤
++++⎢⎥-⎢⎥
+∆+∆+⎣
⎦≤。
（15）
对于具有有界扰动的不确定性离散系统式（13），
存在：
()()
(
)J k V x k k ∞≤ 。 （16）
即()()V x k k 是()J k ∞的上界。因此可将最小化性能指标转化为对()()V x k k 求最小。 2.2 控制律的求解
定理1：对于具有有界扰动的不确定性离散系
统（13），当()0ωk =时，如果存在一个常数0ε>，
使得e
m n+n ,W ⨯∈（）
R e
e
n+n n+n 1P ⨯∈（）（）R
满足： ()()T
11..0x k s t x k P ⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 。
（17）
T T T
1111
T T
112111T 2
2211
1200000
000000P P A WB P F P εEE εEE
εI WF PQ WR εI θI θI ⎡-+⎢*-++⎢⎢**-⎢***⎢⎢***⎢**
*
⎢⎣⎤
⎥⎥⎥⎥⎥-⎥*
-⎥⎥*
*
-⎦
≤ 。
（18）
则有控制律()()1,u k WP x k -∆=使得()()V x k k 最小。
证明：为了保证闭环离散系统的稳定性，李雅
普诺夫函数满足以下稳定性约束：
()()()()
()()()()T 1
T 1111V x k i k V x k i k x k i k Q x k i k u k i k R u k i k ++-+⎡⎤
++++⎢⎥-⎢⎥
+∆+∆+⎣
⎦≤。
（19）
将式（19）左右两端从0i =到无穷进行累加，
得：
()()()
J k V x k k θ
∞≤≤ 。
（20）
由引理4可知，()()()()T
V x k k x k Px k =。 令：110P θP -=>，根据Schur 补引理，式（17）
证毕。
将()()()Δu k k Kx k k =代入式（19）中，两边同乘1θ-得：
()()()()()()()()()()T
T T 1T T T 0x k A k P A k x k x k Px k x k Qx k x k K RKx k θ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤- ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪ ⎪++⎝⎭≤。（21）
式（21）可被表示为线性矩阵不等式的形式:
()()()()()()()()()()()()()()()()()()T
11T
T
11
T
1T 2112
T T
1T T 211T 2
T 00
00000000x k x k P ωk ωk x k x k A k P A k ωk ωk x k x k Q θQ ωk ωk x k x k K R θK R ωk ωk ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
≤。
（22）
由Schur 补引理得：
第49卷第11期 武梓涵，等：基于扩展跟踪误差的鲁棒模型预测控制 2595
()11
1
T 2
21111
0000P A k Q K R P θI θI -⎡⎤
-⎢⎥*-⎢⎥
⎢⎥**-⎢⎥⎢⎥*
*
*
-⎣⎦
≤ 。 （23） 因[]1122,0,E E F F F F CE ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，式（23）可被表示为：
1T T T
T
T
11211
1T T 221122
0*000
000000000P P A P K B
P F E P P KF HE P F E P KF E -⎡⎤⎡⎤-+++
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦≤ 。
（24） 由引理1可得：
1T T T
1121T
T 111
1111T
T 112
2212*000000000P P A P K B P P F εE εP F E P KF εE εP KF E ---⎡⎤-+⎢⎥
-⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
≤ 。 （25） 由Schur 补引理，左右两端同乘{}1,,,,,diag P I I I I I ，
可得式（18），证毕。
定理2：对于具有有界扰动的不确定性离散系统式（13），当()0ωk ≠时，如果存在一个常数0ε>，
使得e
m n+n ,W ⨯∈（）R e e
n+n n+n 1P ⨯∈R
（）（）满足: ()()T
11..0x k s t x k P ⎡⎤>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
。 （26） T T
1
12T
T T
1120P P A WB
γI G P εEE εEE
⎡-+⎢*-⎢⎢**-++⎢***
⎢⎢***⎢***⎢⎢***⎢⎢*
*
*
⎣ （27）
11T T T
2
2111211
1120
00
00
000000000000000P M P F WF PQ WR I εI εI θI θI ⎤
⎥⎥⎥⎥⎥-⎥*-⎥⎥**-⎥***-⎥⎥***
*
-⎦
≤。
则有控制律()()1,u k WP x k -∆=使得()()V x k k 最小。
证明：考虑到系统受到未知有界扰动的影响下，
为了保证闭环离散系统的稳定性，由引理3可知，李雅普诺夫函数满足以下稳定性约束：
()()()()()()()T 2T Δ0z k z k γωk ωk V x k J k ∞-++≤。
（28）
将()()()u k k Kx k k ∆=代入式（28）中，两边同乘1θ-，得：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()T
T T 1T 11
T
T T
T T 20
x k A k G k P A k G k x k x k P x k x k Q x k x k K RKx k x k z k z k x k k k ωωθγω
ω-⎛⎫⎡⎤⎡⎤++ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪-+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭
+-≤。
（29）
将式（29）表示为线性矩阵不等式的形式，即：
()()()()()()()()()()()()()()T
1
12T
T
11
T
T 1
T 00
00x k x k P ωk ωk γx k x k A k P A k G ωk ωk G x k x k M θM ωk ωk ---⎡⎤⎡⎤
⎡⎤-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦ ()()()()()()()()T
1T 211211
T T 1T T 211T 2
11T 00000x k x k Q θQ ωk ωk x k x k K R θK R ωk ωk --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
≤。
（30）
由Schur 补引理得：
()1
1
1
T T 22111210
00000000000P A k M Q K R γP I θI θI -⎡⎤
-⎢⎥*-⎢⎥⎢⎥**-⎢⎥⎢⎥
***-⎢⎥****-⎢⎥⎢⎥*
*
*
*
*
-⎣⎦≤
。 （31）
式（31）可被表示为：
1
T T T
11221T T
11T T 11T T 22220***
000000000
000000000000000000000000P P A P K B γG P P F E P F E P KF HE P KF E -⎡⎤-+⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥-⎣
⎦
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤
。
（32）
由引理1可知，式（32）可表示为：
2596 当 代 化 工 2020年11月
T T T
1122T 111T 11
1T 1
112T
121
21200*000**
0000
00000000
0P P A P K B γG εE P E P F
εP
F εE E P KF εP
KF ---⎡⎤-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣
⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
≤。
（33）
基于式（33），由Schur 补引理，左右两端同乘{1,diag P },,,,,,I I I I I I I 可得式（27）
，证毕。 3 仿真研究
本文以角度定位系统[15]为例，分别采用扩展输
出的状态空间模型[5]的鲁棒预测控制方法（传统控制方法）和本文所提出的扩展状态跟踪误差的控制方法进行对比仿真[16]，验证本文所提方法的有效性和可行性。该系统的离散不确定模型（1）的系数矩阵为：
[]0.10,, 1 01.00.990.8,0770A B C ==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎦=⎢⎣⎣⎦ 12100.020.03010.010.040.3,,.0.1E F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣=⎦
== 系统的初始状态()[]
T
000x =，加权矩阵
11000001000,005Q ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1R =0.000 02，
设定值为5，外界未知扰动边界为0.005，运行时长为500步。为了描述系统的跟踪性能，定义如下性能指标：
()()()T
D k e
k e k =。 （34）
仿真结果如图1-3所示。其中，图1为系统输出响应对比图，图2为系统控制输入对比图，图3为系统跟踪性能对比图。其中虚线为传统控制方法，实线为本文控制方法。
在图1中，通过对比两种控制方法的输出曲线可以看出，本文所提出的控制方法在运行时长100步附近达到稳态，使系统输出可以更快地跟踪到设定值，并且当存在不确定性和外界未知干扰时，系统依旧能稳定运行。
在图2中，本文所提出的控制方法可以有效地确保系统控制输入是在约束范围内波动的，并使其快速趋于平稳，而传统的控制方法在系统没有稳定
时，系统的控制量很大，这不仅会增加控制器的计
算量，而且控制的时效性也会受到影响。
在图3中，()D k 为评价性能指标，当性能指标越低时，系统的跟踪能力越强。本文所提出的控制方法在运行时长40步附近达到稳态，使系统调节速度更快，性能指标更小，同时可以跟踪上设定值。而传统的控制方法调节速度缓慢，在不确定性和未知干扰影响的情况下，系统即使达到稳态，也会有小幅度抖动，且跟踪性能较差。
图1 系统输出响应对比图
Fig.1 Comparison diagram of system output response
图2 系统控制输入对比图
Fig.2 System control input comparison diagram
图3
系统跟踪性能对比图
Fig.3 System tracking performance comparison chart
（下转第
2601
页）
