1.2.2.3 Bütticker-Landauer时间
一般定义量子隧穿时间时，仅仅考虑势垒不随时间变化的粒子隧穿过程[7,25,39]，而Bütticker-Landauer研究了一个非常有趣的隧穿问题[24,67]，即在静态势垒上叠加一个随时间以频率作小振荡的调制势（如图1.3所示）。势垒高度为 ， （20）
图1.3 谐振方势垒：散射粒子吸收或放出调制量子，
出现边带，图中只标出了第一边带。
其中是静态势垒高度，是调制势的幅度。能量为E的输入粒子与微扰势作用将会吸收或放出调制量子，从而将有能带出现。当取的一级近似时，只有附近的能带出现。其思想的关键在于：如果方程（20）中的调制周期比粒子与势垒的相互作用时间长，则粒子在传输过程中仍然相当于与静态势垒相互作用；如果调制频率比粒子传输时间的倒数大，则粒子在传输过程中将会经历几个谐振周期，但势垒大小的时间平均，即有效势的大小仍将保持为，输出光束的强度由于粒子吸收或放出了调制量子而有所不同，其中吸收了调制量子的粒子更容易隧穿过势垒。随着调制频率的变化，当时，粒子将处于两种行为的临界状态，其中的就是透射粒子与势垒的相互作用时间，定义为
（21）
其中，和是势垒的拐点，是粒子质量，粒子能量低于势垒的峰值。
下面是用方势垒为例对上面结论的论证。
考虑简单的哈密顿量，如果时间无关的部分具有本征问题，则的本征函数为
。 （22）
在势垒区域，，方程（22）可以被分解成具有能量的不同成分的迭加，即
， （23）
其中是Bessel函数。势垒的时间调制使能级变成了能带，说明了粒子在与势垒相互作用时吸收或放出了调制量子。把当作微扰，对于小量，Bessel函数可表示为，由方程（23）可以看出，的阶数相应于边带的次序。如果只考虑微扰的一阶修正，方程（23）中只有一阶Bessel函数，则粒子处于最近的两个边带。利用波函数在势垒边界处的匹配条件，势垒中的波函数是方程（23）中正负两个波函数的迭加，可得到分别对应于频率为、的透射波函数。对于频率为的透射波，其波函数与静态势垒时得到的结果一样，即。在模糊（opaque）势垒近似，即下，也就是假定几乎所有的粒子都被势垒反射回去，仅有很少的粒子隧穿过势垒，D可表示为：
， （24）
是势垒宽度，，，。对于频率为的透射波，波函数为，其中
。 （25）
正是粒子以速度穿越势垒的时间，与由方程（21）计算方势垒的结果一致。另外，方程（25）中还假定了和，因此边带波矢，。由方程（25）可得粒子穿过势垒后能量为的透射几率为
， （26）
其中是穿过势垒后能量为的透射几率
。 （27）
如果调制频率与粒子在势垒中运行时间的倒数相比很小，则在粒子与势垒的相互作用过程中，被调制的势垒对粒子来说相当于一个静态势垒，势垒中的波函数以瞬时WKB衰减指数进行衰减。对于小的微扰，，其中是静态衰减指数。瞬时透射系数可由代替方程（24）中的得到，容易证明边带透射波的强度为
， （28）
正是方程（26）的低频极限值。
当调制频率很高时，在粒子与势垒的相互作用过程中，粒子经历了几个调制周期，有效势垒（取时间的平均）的大小仍为。准确地说就是能量为的粒子比能量为和的粒子更容易穿透势垒，因此透射波的强度主要由能量为的透射粒子决定。能量为的粒子与静态势垒相互作用的透射几率为，其中忽略了和阶的影响。在高频条件下，方程（26）中上边带透射波的强度为。的出现似乎不可理解，因为它表征了较高能量的粒子穿过整个势垒的特征，而调制量子可以在势垒的任何位置被吸收。然而，由于粒子能量越高，粒子在势垒中的指数衰减越小，因此上边带的形成主要来自于在入射边附近吸收调制量子的粒子的贡献；类似，下边带的形成主要来自于在出射边附近放出调制量子的粒子的贡献。由方程（26）可知，在高频情况下，确实仅仅通过依赖于势垒的宽度。可见，能量为的入射粒子与被调制的势垒相互作用，随着调制频率的增加，透射粒子能量为的透射系数与透射粒子能量为的透射系数由低频的相等变为了高频的不相等。将方程（26）表示成
（29）的形式正好描述了这种转变，从而定义了穿越（traversal）时间。
1.2.2.4拉莫尔（Larmor）时间
1966年，Baz建议了一个新颖的实验[68]，用粒子自旋在磁场中的拉莫尔进动作为时钟，单独地测量粒子在不同散射通道中花费的时间。同年，Rybachenko把Baz的思想用于一维隧穿问题[69]。其基本思想是：在一高度为、宽度为的方势垒上叠加一个沿z方向的微弱均匀常磁场（仅仅考虑一级效应），如图1.4所示, 当一个质量、沿x方向极化的自旋1/2粒子沿y方向进入势垒后，粒子的自旋开始以频率作拉莫尔进动，其中是旋磁比，是粒子自旋磁矩的大小；当
粒子离开势垒后，拉莫尔进动停止；比较粒子初态和末态（透射粒子或反射粒子）的极化方向，粒子自旋旋转过的角度除以拉莫尔进动频率就是粒子在势垒中花费时间的一个度量。起初，Baz和Rybachenko只考虑了自旋在垂直与磁场平面内的进动情况(如图1.4(a))。对于粒子能量小于势垒高度的隧穿情况，在模糊势垒的条件下，Rybachenko发现在磁场的最低阶近似下，透射粒子自旋分量的期望值为
（30）
其中引进了时间
， （31）
且。由于正是粒子自旋在x-y平面内的进动角度，因此Rybachenko把作为粒子穿越势垒的时间。对于反射粒子，同样有方程（30）的结果，Rybachenko认为反射粒子和透射粒子在势垒中经历了相同的时间。
图1.4 拉莫尔量子时钟：（a）势垒中粒子自旋在xy平面内作拉莫尔进动
（b）粒子穿透势垒时，粒子的自旋也转向了与磁场平行的方向
1983年，Büttiker认为x方向极化的自旋粒子，沿y方向运动并穿越处于z方向磁场中的势垒时，其自旋极化方向不是准确地在垂直与磁场的平面内进行拉莫尔进动，而磁场更主要的效应是使自旋方向和磁场的方向趋于一致[25](如图1.4(b))。因此，x方向极化的入射粒子穿越势垒时，将会获得一个平行与磁场方向的极化分量。x方向极化的自旋粒子可以看作是沿z方向极化和沿负z方向极化的粒子各以1/2的几率迭加而成。在势垒的外边，两种极化方向的粒子具有与自旋无关的相同能量，但是在势垒内部由于塞曼能的贡献，两种极化方向的自旋粒子的能量不再相同，从而具有不同的指数衰减因子
