如图1，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线M ：52 12
+-=x y 经过点C(2，3)，直线y ＝kx ＋b 与抛物线相交于A ，B 两点，∠ACB ＝ 90°。 （1）探究与猜想： ①探究：取点B （6，一13）时，点A 的坐标为（一
25，8
15
），直接写出直线AB 的解析式： ； 取点B （4，－3），直接写出AB 的解析式为________________；
②猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为___________________。请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想。
【例题精讲一】 二次函数代几综合之线段长度问题
例题 1、（江岸模三）已知抛物线2y x ＝上有两动点A ()11x y ，、B ()22x y ，（其中120x x ＜＜），过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，OA 的延长线交BD 于点E 。
（1）如图1，若点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（2，4），求点E 的坐标； （2）如图2，过A 作AF ⊥BD 于F 。若BE ＝AE ，试求BF 的长。
2、（江汉模一）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1，A (0，a )（a ＞0），直线l ：4
1
-=y ，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到点A 的距离与点B 到l 的距离相等。 （1）求a 的值； （2）若直线l 1：y ＝kx ＋
4
1
交抛物线于C 、D 两点，过点C 作CE ⊥l 于点E ，过点D 作DF ⊥l 于点F ，点G 为EF 的中点．若点G 到直线l 1的距离为
5
2
，求k 的值。
解：(1) 当B 在原点处时，OA ＝
41 ∴a ＝4
1
(2) 连接AE 、AF 由题意可知：CA ＝CE ，DA ＝DF
∵CE ∥DF ∴∠ECD ＋∠FDC ＝180° ∴∠EAF ＝90°（利用两个等腰推导） ∵G 为EF 的中点 ∴AG ＝EG ＝GF ∴∠GAE ＝∠GEA
∵∠CEA ＋∠GEA ＝90° ∴∠CAE ＋∠GAE ＝90° 即AG ⊥CD ∴AG ＝
2
5
，EF ＝5 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2) 联立⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=2
41x y kx y ，整理得0412=--kx x ∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝41- ∴|x 1－x 2|＝514)(221221=+=-+k x x x x ，解得k ＝±2
【课堂练习】
1、（洪山模二）已知抛物线C 1：y ＝ax 2经过（－1，1）。
（1）C 1的解析式为___________，顶点坐标为___________，对称轴为___________；
（2）如图1，直线l ：y ＝kx ＋2k －2经过定点P ，过P 的另一直线交抛物线C 1于A 、B 两点。当PA ＝AB 时，求A 点坐标。
解：(1) y ＝x 2，(0，0)，y 轴
(2) 当x ＝－2时，y ＝－2 ∴P (－2，－2)
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2) ∵PA ＝PB ∴－2＋x 2＝2x 1 ① 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=2
2
2x
y k kx y ，整理得x 2－kx －2k ＋2＝0 ∴x 1＋x 2＝k ②，x 1x 2＝－2k ＋2 ③ 由①得，3
2
1-=k x ，代入②③得，334±-=k ∴A (23-，347-)、(23--，347+)
2、（江汉模三）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3)。 （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线上存在点D ，使点D 到直线AC 的距离是10，求点D 的坐标。
【例题精讲二】 二次函数代几综合之线段比值与最值问题
例题 1、（江岸模五）抛物线2y ax ＝（a ＞0）过点M （﹣2，2182
a ＋），N 是抛物线上第一象限一动点。 （1）求抛物线的解析式； （2）若tan ∠OMN ＝2，MN 交y 轴于A ，求
MA
NA
的值。
2、（硚口模三）抛物线C ：y ＝ax 2－2
1
x ＋2与x 轴交于A (4，0)、B 两点，与y 轴交于C 点。 （1）求抛物线C 的解析式；
（2）如图，在第二象限的抛物线C 上有一点P ，OP 交AC 于点E ，求PE ∶OE 的最大值。
【课堂练习】
1、（洪山模三）如图，抛物线2
0)12
(y x mx m m =
++<；的顶点为A ，交y 轴于点C 。 （1）求出点A 的坐标（用含m 的式子表示）；
（2）平移直线y ＝x 经过点A 交抛物线C 于另一点B ，直线AB 下方抛物线C 上一点P ，求点P 到直线AB 的最大距离。
解：（1）利用配方法即可解决问题．2,2m A m m ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AB 于Q ，设P （a ，
12a 2+ma+m ），21,22Q a a m m ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，
()()2221111
112222PQ a m a m m a m =-+--+=---+⎡⎤⎣
⎦ 1a m =-时 PQ 有最大值1
2，点P 到直线AB 的最大距离d=
2
PQ =24
