一．解答题（共12小题）
1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P
（
，﹣），Q （2，2）．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
2．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ． （1）求点C 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求直线BC 的表达式；
（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），与直线BC 交于点N （x 3，y 3），若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．
2008~2019北京中考数学分类汇编
二次函数综合
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
结合函数的图象，求m的取值范围．
5．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
8．已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y2＝kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2+（m﹣3）x ﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点A运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED＝PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点
F．延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
