例11：如图13—11所示，用12根阻值均为r 的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求AG 两点间的等效电阻。 解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁”，使其变成平面电路，如图13—11—甲所示。
考虑到D 、E 、B 三点等势，C 、F 、H 三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG 间总电阻为 r r r r R 65363=++= 例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木 制圆制，其质量m=0.2kg ，半径为r ，长度L=0.1m ，圆柱
wmi服务上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面
wan 107平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度
B=0.5T ，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？
解析：要准确地表达各物理量之间的关系，
最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如
图13—12—甲所示，磁场力F m 对线圈的力矩
IKRTV为M B =NBIL ·2r ·sin θ，重力对D 点的力矩为：
M G =mgsin θ，平衡时有：M B =M G
则可解得：A NBL mg I 96.12==
气胀式救生衣例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13
所示，每段电阻丝的电阻均为r ，试求A 、B 间的等效
电阻R AB 。
解析：设想电流A 点流入，从B 点流出，由对称
性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电
势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。
（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值，
所以 r r r r r 3232=⋅=' 横线每根电阻仍为r ，此时将立体网络变成平面网络。 （2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB 为轴对折，此时网络变为如图13—13—乙所示的网络。
其中横线每根电阻为21r r =
竖线每根电阻为3缘114
2r r r ='='' AB 对应那根的电阻为r r 32=' 此时由左右无限大变为右边无限大。 （3）设第二个网络的结点为CD ，此后均有相同的网络，去掉AB 时电路为图13—13—丙所示。再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻）
则N B A R R ='，网络如图13—13—丁所示。
此时 111111
133
3222------++=+⋅+⋅=+''''+=n n n n n n n R r rR r R r R r r R r R r r R 当∞→n 时，R n =R n －1 ∴ 上式变为n
n n n n R r rR r R r rR r R 3432++=++=
由此解得：r r R n 6213+= 即r r R B A 6
213+=' 补上AB 竖线对应的电阻r 3
2，网络变为如图13—13—戊所示的电路。
r r r r r r R r R r R B A B A AB 21212)321(21)213(221321)213(26
2133262133232322=++=++=+++⋅=+⋅='' 例14：设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和
匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的， 电场强度的大小E=4.0V/m ，磁感应强度的大小B=0.15T ，
今有一个带负电的质点以v =20m/s 的速度在此区域内沿 垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与
质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向（角度可用反三
角函数表）。
解析：因为带负电的质点做匀速直线运动，说明此质点所受的合外力为零。又因为电场强度和磁感应
强度的方向相同，所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面，且必受重力作用，否则所受合外力不可能为零，设质点速度方向垂直纸面向里。由此该带电质点的受力图如图13—14所示。由平衡条件有
有水平方向：θθsin cos Bqv Eq = ①
在竖直方向：mg Bqv Eq =+θθcos sin ②
解得：34tan =θ 34arctan =θ q/m=2 同理，当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图13—14—甲，由平衡条件可解出θ值与上式解出的一样，只是与纸平面的夹角不同，故此带电质点的电量与质量之比为2。
磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是 3
4tan 34arctan
==θθ或
针对训练
1．如图13—15所示，一个重1000N 的物体放在倾角为30°的斜面上，物体与斜面间的摩 擦系数μ为1/3。今有一个与斜面最大倾斜线成30°角的力F 作用于物体上，使物体在斜 面上保持静止，求力F 的大小。
2．斜面倾角θ=37°，斜面长为0.8m，宽为0.6m，如图13—16所示。质量为2kg的木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，在平行于斜面方向的恒力F的作用下，沿斜面对角线从A 点运动到B点（g=10m/s2，sin37°=0.6）。求：
（1）力F的最小值是多大？
（2）力F取最小值时木块的加速度。
3．质量为0.8kg的长方形木块静止在倾角为30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物体，它仍保持静止，如图13—17所示，则木块所受摩擦力大小为
，方向为。
4．如图13—18，四面体框架由电阻同为R的6个电阻连接而成，试求任意两个顶点AB间的等效电阻。
5．如图13—19所示三棱柱由电阻同为R的电阻线连接而成，试求AB两个顶点间的等效电阻。
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6．将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状，如图13—20所示，每段电阻丝电阻均为r。试求：
（1）AB两点间等效电阻R AG；
（2）AD两点间等效电阻R AD。
