0引言
开关DC-DC变换器是一个典型的非线性时变系统，存在丰富的分岔和混沌等非线性现象[1-2]。在这类系统中，当某些选定的参数发生变化时系统往往会产生非线性行为，例如倍周期分岔、切分岔、阵发混沌、共存吸引子以及边界碰撞等[3-5]。通过建立相应的离散映射模型，已有不少文献研究了开关变换器中存在的各种分岔和混沌现象[6,7]，或者利用离散映射模型的稳定性判据，进行了系统的稳定性控制等方面的研究[8-10]。 电流模式Boost变换器是一种广泛应用的开关变换器，它存在多种分岔形式。切分岔是一种特殊的分岔，切分岔和阵发混沌是混沌内部的变化产生危机所出现的动力学行为，是由于混沌吸引子与不稳定轨道产生碰撞而引起的[11]。阵发混沌是通向混沌道路的一种常见现象，它是一种近似规则状态和混沌态随机交替发生的非线性运行方式。文献[11]通过仿真手段构造了周期3窗的1次和3次迭代映射，解释了Boost变换器中的切分岔和阵发混沌现象。本文拓展了文献[11]的仿真分析手段，基于符合实际电路限定条件的离散迭代映射模型，利用数值仿真手段构造了阵发混沌中不同周期窗的切分岔迭代映射，深入分析了该变换器电路由切分岔产生阵发混沌的机理和各周期窗形成的机理。 1Boost变换器及其分岔图
电流模式控制Boost变换器如图1所示，其主电路拓扑是一个由电感、电容、开关管、二极管和负载电阻
组成的二阶电路。电感电流与参考电流I ref进行比较后，通过与RS触发器构成的反馈电路控制开关管S的导通和关断工作状态。当时钟脉冲开始时，开关管
电流模式Boost变换器中切分岔迭代映射构造*
乔晓华，包伯成，孙玉霞
（江苏技术师范学院电气信息工程学院，江苏常州213001）
摘要：切分岔是非线性动力系统中的一种特殊分岔，本文研究了因切分岔而引发的变换器电路的阵发混沌现象。首先建立了符合实际电路限定条件下的离散迭代映射模型，然后通过数值仿真手段构造了阵发混沌中主要的周期3、周期4、周期5及平行周期3等周期窗的切分岔离散迭代映射，从而阐述了开关DC-DC变换器电路发生阵发混沌的机理和各周期窗形成的原因。
关键词：Boost变换器；切分岔；阵发混沌；周期窗；离散迭代映射
中图分类号：TM933文献标识码：A文章编号：1001-1390（2009）11-0005-04
Iterative Map Construction of Tangent Bifurcation in Current-Mode Boost
Converter
QIAO Xiao-hua,BAO Bo-cheng,SUN Yu-xia
(School of Electrical and Information Engineering,Jiangsu Teachers University of Technology,Changzhou
213001,Jiangsu,China)
Abstract:Tangent bifurcation is a special bifurcation in nonlinear dynamical systems.The intermittent chaos phenomenon caused by tangent bifurcation is studied.The discrete iterative map model with limited condition of practical circuit is established,and then the discrete iterative maps of tangent bifurcation for major period-windows including period-3,period-4,period-5,parallel period-3,and so on,in intermittent chaos have been constructed by numerical simulation.The mechanism of intermittent chaos and the formation reason of various period-windows in switched DC-DC converter circuit have been illustrated.
Key words:boost converter,tangent bifurcation,intermittent chaos,periodic window,discrete iterative map
*江苏省高校自然科学研究计划资助项目（02KJD510016）
二维码访客系统
导通，电感电流i 线性上升，当i 上升到峰值参考电流I ref 时，触发器复位，开关管S 关断，电感与输出RC 产生谐振，
i 谐振下降，直至下一个时钟脉冲开始时，开关管再一次导通。
当Boost 变换器工作于电感电流连续导电模式（CCM ）时，变换器的状态方程是分段光滑非线性动力学系统，对应于上述开关的两种状态，图1中变换器的状态方程为：
开关管导通：
x 觶=A 1x+B 1E ；开关管关断：
x 觶=A 1x +B 2E .其中x =[i v ]T 为状态变量，i 为电感电流，v 为电容电压（即输出电压）。A 1、A 2为系统的参数矩阵，B 1、B 2为输入矩阵，分别为：
A 1=
00
0-1
RC
，A 2
0-1L 1C
-1RC
B 1=B 2=
1
L
B
B
T
以上A 1、A 2、B 1、B 2都是常数矩阵。
设定i n =i （nT ）、v n =v （nT ）分别为电感电流和输出电压在时钟nT 时刻的采样值，i n +1=i [（n +1）T ],v n +1=v [（n +1）T ]分别为电感电流和输出电压在下一个时钟（n +1）T 时刻的采样值。当i 上升到达I ref ，即I ref -i =0时，开关管关断。开关管的导通时间t n ，即电感电流i 上升的时间为：t n =（I ref -i n ）L/E 。根据实际电路，上式中不能出现t n <0即电感电流i >I ref 的情况，此时表明变换器开关管在时钟脉冲来临时刻就直接进入关断状态，此刻需令t n =0。这样就可以建立开关Boost 变换器在t n ≥T 和t n <T 两种情形下的离散迭代映射模型，且符合实际电路的限定条件。
根据电流模式Boost 变换器的离散映射模型，我们可以采用数值迭代计算方法对Boost
变换器中的分岔行为进行分析。图2给出了随参考电流I ref 增加状态变量i 的分岔图，这里电路参数的取值为：E =12V ，L =1mH ，C =5μF ，R =10Ω，f S =10kHz 。在图2中，我们可以观察到，随着参考电流增加，Boost 变换器发生了倍周期分岔，依次出现了周期2、周期4和周期8，然后由周期运行轨道产生状态突变进入了混沌轨道。在混沌区域内，变换器电路由于切分岔引发了阵发混沌现象，在分岔图上出现了多个大小不同和周期数不等的周期窗口。
由图中周期3窗可见，变换器在切分岔点之前处于混沌状态，但这时变换器的混沌运动状态已经暗示了周期状态即将产生。参考电流参数值增大，周期3窗将会演变成周期4、周期5和周期6等窗口，周期数有规律地逐步增加；参考电流参数值减小，周期3窗将会演变出现周期5、平行的两个周期3等较为明显的周期窗口。周期窗内由切分岔产生的周期轨道随参数值的进一步增加也产生分岔现象，其分岔结构与主分岔结构具有自相似结构，也是经过倍周期分岔通向自身的混沌区域。2切分岔迭代映射构造
我们将通过仿真手段来构造Boost 变换器电路的切分岔迭代映射[11]，以周期3窗为例进行分析说明。阵发混沌发生在周期3轨道出现的地方，我们注意到这条轨道的正确起点值为I ref =6.26878A ，变换器在
这里发生了一次切分岔。从图3所示周期3窗切分岔
附近的吸引子容易看出，当参考电流参数值I ref =6.26877A 时，吸引子有无穷多点连成片分布，表示电路运行在混沌轨道；而当参数值I ref =6.26878A 时，吸引子只有3个分立点，表示电路以周期3轨道运行。我们知道周期2是由二次迭代映射产生的，类似地，周期3可由三次迭代映射产生。
为了构造Boost 变换器的切分岔迭代映射，需要固定变换器两个状态变量中的一个变量，把二维变量系统降阶为一维系统。选择固定Boost 变换器的输出
图1电流模式Boost 变换器电路
Fig.1Current-mode boost converter circuit
图2电流模式Boost 变换器的分岔图
Fig.2Bifurcation diagram of boost converter I ÁÂÃÄ
/
A i / A
3
3
5
4
电压变量，参考图3（b ），可以选取在切分岔点处稳定
周期3的中间一个周期轨道的输出电压值v （2）
=
0.8434V （其它两个值分别为：v （1）=0.6520V 和v （3）
=6.2315V ），作为输出电压变量的初始值，然后取电感电流在时钟nT 时刻采样值的变化区间为：i n =3~7A ，并令参考电流值为：I ref =6.26877A 。进行1次迭代后得到电感电流状态变量的一次迭代映射为i n +1=f [i n ]，进行3次迭代后就构成了电感电流状态变量的三次迭代映射为：i n +3=f (3)[i n ]。
图4显示了周期3窗切分岔一次迭代映射和三次迭代映射的曲线图。图4
（a ）所示的一次迭代映射曲线与对角线存在一个交点不动点，交点处斜率为-2.3，因此该不动点是不稳定的。而图4（b ）所示的三次迭代映射曲线与对角线有四个不动点A 、B 、C 和H ，其中H 点对应了一次迭代映射曲线的不动点，而另外三个恰好与对角线相切，切点处的斜率为1，正好处于不动点失稳的边界，因此在该处将会发生切分岔现象。
当参考电流值略小于I ref =6.26878A 时，三次迭代映射曲线在3个切点处并未接触到对角线，其间存在非常狭窄的缝隙，当变换器电路的运行轨道进入任何一条缝隙，就会经历很多次的迭代才会脱离该缝隙[11]。这表示在切分岔附近迭代具有阵发性（次数突然增多），显然这时运行的非周期性占主导地位。当参考电
流逐步增大，使之大于I ref =6.26878A 时，则3个切点均向对角线靠拢，产生3对不动点，如图5所示I ref =6.
5A 时有A 1和A 2、B 1和B 2、C 1和C 2三对不动点，每对不动点的斜率都是一个大于1，而另一个小于1，也即一个是不稳定的，一个是稳定的。这样就产生了两条周期3轨道，一条是稳定的，可以观察到，也就是切分岔后产生的周期3；另一条是不稳定的，不能观察到。在图2中，在I ref =6.27~7.12A 范围内只画出了稳定轨道的行为。该图实际上应画成如图6所示，图中的虚线就是切分岔产生的三条
不稳定轨道随I ref 值的变化情况。由图6可见，由实线所示的三条稳定轨道随I ref 增加，经几次倍周期分岔后进入混沌；在I ref =7.12A 附近，三条不稳定轨道在窗口结束处与三条次级混沌带相遇，从而引起混沌危机，三个混沌窄带变成了一
图3周期3窗切分岔附近的吸引子
Fig.3Attractors near tangent
bifurcation
v / V i / A
魔盒防晒霜i /
A
v / V
(a)I ref =6.26877A 混沌吸引子(b)I ref =6.26878A 周期3吸引子
图4周期3窗内切分岔迭代映射
Fig.4Iterative maps of tangent bifurcation i Á/ A
= 1
i Á
ÁÂ/ A
= `2.3
H
(a)一次迭代曲线
i Á/ A
i
Á
ÁÂ/ A A
H
C B
= 1
(b)三次迭代曲线
i Á/ A
A Á
A Â
B Á
B Â
C Â
C ÁH
盐酸环丙沙星凝胶
= 1
i
ÁÁÂ/ A
图5I ref =6.5A 时的三次迭代曲线
Fig.5Third iterative curve when I ref =6.5A
个混沌宽带。阵发吸引子由两个甚至更多个亚稳吸引
子组成，由于不稳定轨道与混沌吸引子的碰撞，混沌吸引子可越出吸引域而形成阵发混沌。
上面我们通过仿真手段构造了出现周期3窗起始点电流模式Boost 变换器的一次和三次迭代映射，从而解释了切分岔现象即阵发混沌产生的根源，同时
也说明了周期3窗形成的原因。
为了不失一般性，我们可以用同样的仿真手段在周期4窗切分岔处构造四次迭代映射。随着参考电流
增加，在I ref =8.9009A 处，变换器电路再次发生了切分
岔现象，出现了阵发混沌周期4窗。我们选取在切分
岔点附近稳定周期4中输出电压值v
（2）
=0.2566V 或v （3）=0.8162V 的一个周期轨道，作为固定输出电压变量的初始值，构造的迭代映射曲线图如图7（a ）所示。图7（a ）中有4个切点，分别位于图示A 、B 、C 和D 处；
还有7个交点，
都是不稳定的不动点。图7（b ）和7（c ）分别给出了I ref =5.586A 和I ref =11.434A 两处附近的周期5窗切分岔五次迭代映射
曲线图。图7（b ）中切分岔点参考电流值为：I ref =
5.58649A ，选取的固定输出电压变量值为：v （2）
=1.4324
图6周期3窗及其稳定与不稳定轨道
Fig.6Period-3window and its stable,unstable
orbits
I ÁÂÃÄ/A i / A
图7周期4窗和周期5窗的切分岔迭代映射
Fig.7Iterative maps of tangent bifurcation i Á/ A
= 1
i Á
ÁÂ
/ A
= `2.3
H
(a)I ref =8.9009A 附近四次迭代曲线
i Á/ A
i
Á
ÁÂ/ A
A
H
C B
矫姿带= 1
i Á/ A
i
冲床冲头Á
ÁÂ/ A
A
D
C B
II = 1
E
(c)I ref =11.434A 附近五次迭代曲线
图8平行周期3窗切分岔附近的吸引子及其六次迭代曲线Fig.8Attractors near tangent bifurcation of parallel period-3
window and its sixth iterative curve
i / A
v / V
(a)I ref =5.19115A 两个混沌吸引子
i / A
v / V
(b)I ref =5.19116A 两个周期3吸引子
i Á/ A
i
ÁÁÂ/ A
A
D
C
B防盗门报警器
II = 1
E H Á
H Â
H ÃF
(c)六次迭代曲线
（下转第76页）
V，有五个切点分别位于A、B、C、D和E处，有一个交点位于H处。图7(c)中切分岔点参考电流值为：I ref= 11.4339A，选取的固定输出电压变量值为v(2)=0.1095 V或v(3)=0.1438V或v(4)=0.8084V中的一个，有5个切点分别位于A、B、C、D和E处，同时还存在大量的交点（共有17个），都是不稳定的不动点。
我们可以对上图作比较分析，图7(b)曲线图中只存在着一个交点，是一次迭代中的不动点，而图7(c)曲线图中则存在着大量的交点，预示着Boost变换器电路处于更加不稳定的区域。
在图2的分岔图中可以看到，在参考电流参数I ref =5.191A附近出现了平行周期3窗。在该参数值附近电路的混沌和周期吸引子如图8(a)和8(b)所示，可以看出，在I ref=5.19116A处，系统发生了切分岔现象，由两条混沌带突变成两组周期3轨道。选取固定输出电压变量值为：v(1)=0.7666V或v(2)=0.8513V，通过仿真手段可以构造出切分岔的六次迭代映射曲线图，如图8(c)所示。图8(c)中有五个切点分别位于A、B、C、D、E和F处，有三个交点位于H1、H2、H3处。
通过图8(c)与图4(b)的比较，可以发现：图4(b)中有3个切点和1个交点，而图8(c)有两组相似的切点和交点，分别位于上半区和下半区，并由交点H2将上下两个区域连接起来。图8(c)表明I ref=5.191A附近出现的是平行周期3窗，而不是周期6窗。
3结论
电流模式Boost变换器电路中发生切分岔后，会产生由阵发混沌带来周期窗等非线性动力学现象。因此，电流模式Boost变换器属于鲁棒性较弱的强非线性电路系统，容易受内在电路参数变化和外在干扰的影响。基于符合实际电路限定条件的离散迭代映射模型，本文构造了阵发混沌中各周期窗的切分岔迭代映射，由此对该变换器电路发生阵发混沌的机理，周期窗形成的原因进行了全面细致的研究。其研究结果对开关DC-DC变换器电路设计有一定的指导意义，研究方法可以应用到其它类型的开关变换器电路分析中去。
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作者简介：
乔晓华（1960-），男，副教授，从事非线性电路的建模、仿真与实验研究。Email：ahqxh@126
包伯成（1965-），男，研究员高级工程师，从事混沌理论与应用研究。孙玉霞（1961-），女，副教授，从事电路设计、故障诊断及可靠性研究。
收稿日期：2009-07-12
（常会敏编发）
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作者简介：
沈霞（1981-），女，讲师，从事电力电子与电力传动相关工作。Email:xia_shen@163
王洪诚（1955-），男，教授，从事电力电子与电力传动相关工作。
方玮（1975-），女，讲师，从事电力电子与电力传动相关工作。
收稿日期：2009-06-21
（杨长江编发）
（上接第8页）
