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1 引言
道路通行能力是指在一定的道路条件、交通条件和服务水平的情况下，单位时间内能够通过道路或车道上某截面处的最大交通流量。车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力降低的现象。随着我国经济的发展，城市中的车辆也在逐渐增加，车道被占用对城市道路通行能力的影响尤为显著。车道被占用的情况较为复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。因此，研究车道被占用对城市道路通行能力的影响具有很大的现实意义。 本文以2013年全国大学生数学建模竞赛A 题的相关数据为基础，对实际问题进行量化，利用数学方法和数学模型来研究车道被占用对城市道路通行能力的影响。
2 基本假设与符号说明2.1 基本假设
（1）在统计车辆时，假设当车身的1/2以上通过事故所处横断面即为整辆车已通过；（2）由于电瓶车体
积较小，机动性强，故假设其对此路段的通行能力影响极小，可以忽略不计；（3）假设事故只对其上游路段120 m 内的车辆产生影响，事故影响范围内的车辆，称之为车辆堵塞区；（4）假设从事故发生开始，堵车现象随之发生，且连续。2.2 符号说明
为表述清楚，本文所用符号定义如下：
N ：事故段的标准车当量数；N ：事故段标准车当量的平均值；L i ：第i 段时间的车辆排队长度；d ：单个车道的宽度；p ：事故路段的车辆排队密度，单位为：辆/ m 2。 3 相关数据的获取和处理
为了便于观察在交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程，必须要选取时间段对附件1视频中的车辆进行统计。考虑信号周期性，选取1 min 为时间间隔，对车辆统计进行统计。根据假设（2），在整个事故发生前后，只需统计四轮及其以上的机动车辆即可。在单独评价高速公路或城市道路交通量时，可根据需要采用标准小汽车当量数计算。观察视频1，可将视频中四轮及以上的机动车辆为大型车和小型车两大类。根据文献可知大型客车的换算系数为1.5，即一个大型客车可以看作1.5个小轿车或小型车。通过观察视频可知，车祸发生的时间是16:42:32，在17:03:00之后事故车辆撤离，为方便起见，假设事故在17:00:00结束，因此将16:42:32~16:43:00看作第1时间段，紧接着均以1 min 为1个时间段，并且为连续的。统计车辆过程中发现视频中由多处时间段是残缺的，
分别是16:49:38~16:50:04；16:53:52~16:54:03；16:56:05~16:57:55；16:58:18~16:59:07；17:00:07~17:01:20。为保证计算结果的准确性，首先对数据进行修复。对于前2个片段16:49:38~16:50:04；16:53:52~16:54:03，观察视频中16:49:38的画面(记为画面①)与16:50:04的画面(记为画面②)；16:53:52画面与16:54:03的画面，通过统计计算得到画面①与画面②的车辆数量之差是10，即说明了在16:49:38~16:50:04这段时间内有10辆车通过了事故所处的横截面。运用同样的方法，可以计算出16:53:52~16:54:03时间内有3辆车通过了事故所处的横截面。为能够合理的分配在缺失片段期间通过了事故所处的横截面的车辆，在此引入Q 值法。
定义1设第i 方人数为p i ，已占有n i 个席位，i =1，2，…，m ，当总席位增加1席时，计算增加的1席分配给Q 值最大的一方，此方法即称之为Q 值法。
摘要：文章以2013年全国大学生数学建模竞赛赛题A 题的相关数据为基础，研究了在交通事故下，车道被占用对城市道路实际通行能力的影响。运用Q 值法和指数回归拟合法对视频中缺失片段的数据进行了恢复处理，构造多元线性拟合模型，得出交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系。最后，运用平均值法和Q 值预测法估算出从事故发生开始至车辆排队长度将到达上游路口所用的时间。
关键词：道路通行能力；Q 值法；指数回归拟合；多元线性拟合彭冲冲
基于数学模型探讨车道被占用对城市道路通行
能力的影响
（郑州工业应用技术学院 基础教学部，河南 郑州 451150）
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54运用Q值法从n1=n2=1开始按总席位每增加1
ccc360席(在这里为每增加1辆车)计算。通过计算，所得结果是：应将16:49:38~16:50:04中通过的10辆车分给上一时间段(16:49:00~16:50:00)8辆，分配给下一时间段(16:50:00~16:51:00)2辆；应将16:53:52~16:54:03中通过的3辆车分给上一时间段(16:53:00~16:54:00)2辆，分配给下一时间段(16:54:00~16:55:00)2辆。由此，对前两个缺失片段的车辆数进行了修复，下面将对剩余缺失时间片段进行处理与修复。
由视频1可知，从16:56:00开始直到事故车辆撤离期间，所需要统计的时间段严重缺失，在此根据前面的数值运用拟合函数来预测推算接下来缺失数据，具体方法如下：
将16:56:00之前的每个时间段所统计的车辆数输入Excel数据库，运用插入GROWTH函数(即返回指数回归拟合曲线一组坐标值)，返回值即为所求的值。通过计算，得到最后几段的数值为20.569099、19.52055、20.4863、20.94402。运用t检验可知，添加后的数据是合理的。
4 事故中实际通行能力的变化
道路的通行能力是指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，事故一发生至撤离的过程中，每段时间内的车流量即该段时间的实际通行能力。假设在交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化是连续的，则所得实际通行能力与时间的图像的斜率即为实际通行能力的变化，如果斜率为正，则表示实际通行能力逐渐增强，反之减弱。
由以上分析可知，每段时间内的车流量即为该段时间的实际通行能力，为了能够更好地表述道路的通行能力，绘制车流量—时间图，如图1所示。
图1 事故一过程中车辆流量随时间的变化图
由图1可知，交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面的车流量是上下波动的，且随着时间的增长，车流量稳定在一定的范围内，表明在此期间该横断面的实际通行能力也是在上下波动，且随着时间的增长，车流量将趋于某一稳定值。即当图1中的斜率为正时，实际通行能力表现为逐渐增强，斜率为负值时，实际通行能力逐渐减弱。
姜启源等指出：道路在正常运行状况下，当交通能力远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态；随着车辆的增加，运行状况恶化，当流量接近通行能力时，速度降低，呈强制流状态，出现交通拥堵。在交通事故结束后，由于前一时间段事故造成的车辆拥堵滞留，在事故所处横断面会在短时间内车流量特别大，这也说明了本文的结论是合理的。电机风罩
5 事故路段车辆排队长度模型
5.1 模型的分析
影响事故路段车辆排队长度的因素主要有3种，分别是：事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量。要分析排队长度与各影响因素之间的关系，即观察分析事故中每个时间段的车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间及路段上游车流量的几组数值之间的关系。因此，出相应的数据，然后以事故横断面实际通行能力、事故持续时间及路段上游车流量为自变量，以车辆排队长度为因变量对这几组数据进行拟合即可得出它们之间的函数关系式。
5.2 模型的建立
由4.1的分析可知事故中每个时间段的实际通行能力，由于最后4组数据通过数学方法预测而来，为保证结果的准确性，只对前14 min的数据进行分析，由此可知事故发生后前14 min中每段时间内事故横断面实际通行能力。
由于事故只对其上游路段120 m内的车辆有影响，称这120 m的区域为车辆堵塞区。设单位时间内通过事故发生处上游120 m处的车辆数为路段上游的车流量，通过观察视频1，可以统计出事故发生后14 min 中每个时间段内段路段上游的车流量。
假设事故的持续时间是以1 min一个节点为连续的，下面就需要求解每个时间节点的车辆排队长度。为此，引入道路排队密度ρ的概念，其定义为：设在某一路段发生了一起事故后，在其后的某一时刻，路面的车辆排队长度为L，路宽为D，在这段路上的车当量数为N，则此时该路段的道路排队密度为：
（1）其单位是辆/ m2。
对视频1进行了观察，注意到视频中暂停点的车辆排队长度为120 m2，对每个暂停点内的车的数量进行了统计，并将其转化为标准车当量数N，由式可以得到图中各个暂停点的道路排队密度j=1，2，…，7，如表1。
表1 各暂停点道路排队密度
暂停时间点排队密度暂停时间点排队密度
16:42:320.008 226 49616:51:440.020 512 821
16:42:460.010 897 43616:52:460.021 153 846
16:47:500.009 829 06016:53:520.020 940 171
16:50:420.017 521 368
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由（1）式可知，对于同一路段而言，其面积为S =LD 不变，ρ随N 的增加而增加，因此，取道路排队密度为
0max{}0.021153846j ρρ==。由（1）式可知，车辆排队程度为： （2）由于事故的持续时间是以1 min 一个节点为连续的，在某一时间段内，车辆排队长度的增加(或减少)量即为这段时间内驶入这段道路的车当量与驶出这段道路的车当量之差△N ，则第i 段时间内车辆排队长度为：
菜罩
（3）观察视频1可知，事故开始时在交通堵塞区内的车当量数为10 pcu，则由（1）式可得，初始阶段的车辆排队长度L 0=48 m 。此时，由（3）式即可得出每个时间段内的车辆排队长度。
设x 1，x 2，x 3分别表示事故横断面实际通行能力、事故持续时间与路段上游车流量，y 表示路段车辆排队长度，对上述表格中的数据通过多元线性拟合法进行拟合得出，因变量y 关于自变量x 1，x 2，x 3的系数分别是：-0.0167，398.3862，0.0301，即交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系式为：
（4）5.3 模型的求解
由题目可知，视频1(附件1)中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140 m，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500 pcu/h，事故发生时车辆初始排队长度为0，且事故持续不撤离。由式可知，y =140，x 3=1 500确定事故横断面实际通行能力x 1，即可求得车辆排队长度到达上游路口时间x 2。下面用两种方法确定事故横断面实际通行能力，分别求出车辆排队长度到达上游路口时间，并进行比较。
（1）平均值法。根据事故发生后14 min 中每个时间段的实际通行能力，由此可确定该段时间内的平均实际通行能力N 。
由于N N =∑，
其中，
N i 表示第i 时间段事故横断面实际通行能力，则代入数据可得：N =1 080。
取x 1=N =1 080，y =140，x 3=1 500，由式可解得：
x 2=028 h=16.80 min。
即从事故发生开始，经过16.80 min 车辆排队长度将到达上游路口。
（2）预测法。根据附件1对视频的观察，可以统计出事故发生后14 min 的车辆数，进而可求出该段时间的实际通行能力，以此为基础可利用Q 值法对后期缺失数据进行预测，根据预测的数据代入式，求得相应时间段的车辆排队长度，逐项求解，直至y =140为止。通过预测计算可得到如表2。
通过表2可以得出结论：从事故发生开始，经过17 min 车辆排队长度将到达上游路口。以上2种方法
的比较可知，在误差允许的范围内，由式所估算的时间是合理的，也说明问题3得到的模型是合理的。
表2 车辆排队长度预测值
持续时间
通行能力上游车流量
聚氨酯防滑链排队长度151125.0028751500127.3090020161131.91881500133.833276017
1138.877241
1500
带触摸板的键盘140.3568401
5.4 模型的检验
为了保证结果的合理性，运用F 检验对所求得的表达式的显著性进行检验。
由于
残差平方和
回归平方和
回归方程的显著统计量 1
U
p
F Q
n p =
−−，。
其中，y i 表示第i 时间段的车辆排队长度；i y
表示
拟合所得的第i 时间段的车辆排队长度；y 表示y i 的平均值；n =14，p =3；所以可求得F =10.2194748，在显著性水平=0.05α下查表得F 0.95(3，10)=8.79。 因为F ＞F 0.95(3，10)，说明了所求的模型是显著的，即合理的。6 模型的评价与小结
本文在对附件的分析与利用的过程中，对数据的处理较为严谨，能够运用适当的数学方法去处理恢复
视频1中缺失片段的数据，这是本文的一个创新点；并且本文对每一个问题的结果都进行了检验，以验证模型或结果的合理性。同时，本论文也有一些需要改进的地方，如：直接将车流量定性为实际通行能力的处理比较粗糙；由于视频画面模糊，在车辆统计方面可能也会有所偏差；交通事故对道路行车造成的影响，不仅跟事故本身的严重程度有关，而且与事故发生的地点与时间有密切的关系，本文仅以一场事故为例进行研究，必然存在偶然性误差，因此所建模型存在一定的误差也是必然的。整体而言，在误差允许的范围内，本文对每个问题所求的结果还是比较合理的，这说明所建立的模型还是比较符合题目要求的。
作者简介：彭冲冲（1992-），女，籍贯：河南驻马店，学历：硕士，研究方向：优化与管理。
参考文献：
[1]贾晓敏.城市道路通行能力影响因素研究[D].西安：长安大学,2009.
[2]中国工业与应用数学学会.2013年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题[Z].2013:2016.
[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社,2011.
