第 4
题图
三、2010年高考数学试题评价
1．已知集合 {|||2 A x x =£ ， } x R Î ， {|4 B x x =£ ， } x Z Î ，则A B = I （
）
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．{0，2}
D ．{0，1，2} 命制意图与评析：考查集合的基本概念与集合运算，同时考查了数集的特定符号，这几 年考查集合概念与运算题型稳定，但难度有所上升． 2．已知复数 2 3 (13) z + = - i
i ，z 是z 的共轭复数，则z z = g （ ）
A ． 1 4
B ． 1 2
C ．1
D ．2 命制意图与评析：考查复数的乘除运算，共轭复数的概念与性质，前几年都考查复数的 简单运算，多属于复数概念和分母实数化，2010 年对复数的考查难度明显加大，增加了对 复数的平方运算和共轭复数的性质 2 z z z = g 考查．
3．曲线 2
x y x = + 在点(1 - ， 1) - 处切线方程为（ ） A ． 21 y x =+ B ． 21
y x =- C ． 23 y x =-- D ． 22
y x =-- 命制意图与评析：考查商数的导数运算，导数的几何意义和点斜式方程，属于常见的 基础题，这几年曲线的切线问题出现的机率较高，多数出现在小题中，有时出现在大题中， 如 2008 年就出现在大题中，应该说对多数考生难度是不大的，但要注意区分在某点处和过 某点的曲线的切线问题． 4．如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为
0 (2 P ， 2) - ，角速度为 1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函
数图像大致为（ ） （注意曲线画的有点误差！）
A ．
B ．
C ． D．
空气雾化喷头命制意图与评析：考查三角函数的图像、性质及物理学上圆周匀速运动的概念，同时考 查考生识图像
能力，利用特别赋值排除选项的能力．教学中要向考生渗透数形结合思想．题 再往下发展就是要考虑质点在x 轴和 y 轴方向的速度，就得自用导数解决问题了．
5．已知命题 1 p ：函数 22 x x y - =- 在R 上为增函数， 2 p ：老婆饼机
函数 22 x x y - =+ 在R 上为减函数，
第 7 题图 则在命题 1 q ： 12 p p Ú ， 2 q ： 12 p p Ù ， 3 q ： 12 () p p ØÚ 和 4 q ： 12 () p p ÙØ
中，真命题是（ ） A ． 1 q ， 3 q B ． 2 q ， 3 q C ． 1 q ， 4 q D ． 2 q ， 4
q 命制意图与评析：考查简单逻辑用语中“与” （一假则假，都真则真） 、 “或” （一真则 真，都假则假） 、 “非” （真假相对）运算性质，事实还考查了函数 ( ) ( ) f x f x -- 是奇函数， ( ) ( ) f x f x +- 是偶函数这个性质．回顾简单逻辑用语命题规律，07 年特称命题的否定，08 年的充要条件，09 年以三角函数为背景的命题真假判断，2010 年考查“与” 、 “或” 、 “非” 运算性质是在预料之中的事，未来试题走向就不好判断了．
6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补 种 2 粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
命制意图与评析：考查了二项分布列及数学期望，同时考查了离散变量的线性关系的数 学期望公式 () E a b aE b x x +=+ ．由于在大题中没考查离散变量的分布列，作为整体考虑就 设计了这个小题，这道应是常见的基础题．
7．如果执行如图所示的框图，输入 N =5，
则输出的数等于（ ）
A ．
5 4 B ． 4 5
C ． 6 5
D ． 5 6
命制意图与评析：考查了简单的循环结构，并且把简单合
情推理结合起来了，事实上，对于k =1，2，3，…，时，一 组数列是： 1 2 ， 2 3 ， 3 4
，…关键要到终止条件．这几年一 直再考查程序框图，多数是在考查循环结构与数列结合的情
境，试题的走向比较稳定，从数学逻辑思维上去掌握框图． 8．设偶函数 ( ) f x 满足 ( ) 3 8 f x x =- （ 0 x ³ ），则 ( ) { } |20 x f x ->=（ ）
A ．{|2 x x <- 或 4}
仿形车床x > B ．{|0 x x < 或 4} x > C ．{|0 x x < 或 6} x > D ．{|2 x x <- 或 2}
x > 命制意图与评析：考查了函数的奇偶性，函数图像及数形结合思想，属于考查综合能力 的试题，考生平时养成勤作函数草图，理解不等式的含义，采用数形结合方法解决问题也是 比较简单的． 这几年考查函数的图像与性质的题目不多， 考生复习中容易忽视这方面的内容． 9．若 4 cos 5 a =- ，a 是第三象限的角，则 1tan 2 1tan 2 a a + - =（ ）
A ． 1 2 - B． 1 2
C．2 D． 2 - 命制意图与评析：考查同角的三角函数关系式和半角的万能公式，也可以考查两角和的 正切公式的逆向思维和半角的公式， 应该说新课程对半角公式和同角关系式的要求降的很低
了，现行教材考查这些东西相对有一定的难度，半角的万能公式属于考生了解的内容，平时 训练这类问题不多．三角函数中学对图像及性质，两角的和与差公式和欧拉变换平时训练的 较多，考生掌握的较好，从考试走向来看，今后要加强三角变换训练．
10．设三棱柱的侧面垂直于底面，所有棱的长度都为a ，顶点都在球面上，则该球的表面积 为（ ）
A． 2
a p B ． 2 7 3 a p C． 2 11 3
a p D． 2 5 a p 命制意图与评析：考查考生三棱柱内接于球的情形，考查考生分析球心所在的位置，事 实上考查了正三角形的中心到顶点的关系，要分析球心在两底中心连线的中点，各个顶点到 中心的距离都是球的半径，也考查了球的表面积公式．这几年考查球内接长方体情形较多， 考查球内接三棱柱不多，立体几何喜欢考查球内多面体的问题． 11． 已知函数 ( ) |lg |,010 1 6,10 2
x x f x x x <£ ì ï = í -+> ï î ， 若a ，b ，c 互不相等， 且 ( ) f a ( ) f b = ( ) f c = ， 则abc 的取值范围是（ ）
A ．(1，10)
B ．(5，6)
C ．(10，12)
D ．(20，24)
命制意图与评析：考查函数的图像与性质，图像的关键点的出与利用，考查估算与预 测能力，利用函数图像解决问题．平时绘画草图对解函数题在平时复习中应引起注意．
12．已知双曲线E 的中心为原点， ( ) 3,0 F 是E 的焦点，过点F 的直线l 与E 相交于 A ，B 两点，且AB 的中心为 (12,15) N -- ，则E 的方程为（ ） A． 22 1 36 x y -= B ． 22
1 45
x y -= C ． 22 1 63 x y -= D ． 22
1 54
x y -= 命制意图与评析：综合考查直线方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的应用 及待定
系数的思想方法，如果按提供的数据把草图画的规范可以直接看出结果．
13．设 ( ) y f x = 为区间[0，1]上的连续函数，且恒有 ( ) 01 f x ££ ，可以用随机模拟方法近 似计算积分 ( ) 1
0 f x dx ò ，先产生两组（每组N 个）区间[0，1]上的均匀随机数 1 x ， 2 x ，…， N x 和 1 y ， 2 y ， …， N y 由此得到N 个点(,) i i x y （
1 i = ，2， …，N ） ． 再数出其满足 ( ) i i y f x £ （ 1 i = ，2，…，N ）的点数 1 N ，那么由随机模拟方法可得积分 ( ) 1
0 f x dx ò 的近似值为 1
N N
命制意图与评析：考查几何概型、积分的概念及教材中的随机模拟估计面积例题，考查 考生对数学概念与模拟实验的本质的理解，只要理解了题的含义，推断出结果并不难．试题 在选择题上面走向是向传统教材靠拢，但对必修三、选修 23教材的考查与挖掘的力度还是 很大． 14．正视图为一个三角形的几何体可以是 （写出三种）
命制意图与评析：开放性考查考生对空间几何的认识，考查考生识图与视图能力，考查
考生的空间想象能力．考查三个视图轮廓线的概念．
15．过点 ( ) 4,1 A 的圆C 与直线 10 x y --= 相切于点 (2,1) B ，则圆C 的方程为
命制意图与评析：直线与圆相切的性质，圆的切线的性质及圆的方程，考查对基础知识 与基础概念的掌握．
16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点， 1 2
BD DC = ， 120 ADB Ð= o ， 2 AD = ．若△ADC 的面积为33 - ，则 BAC Ð=
命制意图与评析：考查了解斜角三角形的二大内容：三角形面积公式和余弦定理，也 考查了考生的转化思想和处理几何信息的能力．
17．设数列{ } n a 满足 1 2 a = ， 21 1 32 n n n a a - + -= g
． （Ⅰ）求数列{ } n a 的通项公式；
（Ⅱ）令 n n b na = ，求数列{ } n b 的前n 项和 n S ．
解：（Ⅰ）由 21 1 32 n n n a a - + -= g
，令 1 n = ，2，…， 1 n - ， 得 1 21 32 a a -= g ，
3 32 32 a a -= g ，
5 43 32 a a -= g ，
………………
23 1 32 n n n a a - - -= g ，上述 1 n - 个式相加，得
收获时间到35 1 3(222 n a a =++++ (23)
2) n - + 1 2(14) 23 14
n - - =+´ - 21 2 n - = ； （Ⅱ） n n b na = 1 4 2 n n = g ，则 2 1 11 4(1424 22 n k n k S k = ==++ å g g … 4) n n + g 令 2 1424 n T =++ g g … 4 n n + g ………，则 23 41424 n T =++ g g … 1 (1)44 n n n n + +-+ ………②
②—①得， 2 3(44 n T -=++ … 1 4)4
n n n + +- 1 4(14) 4 14 n n n + - =- - g ， 所以， 44 (14)4 93 n n n n T =-+ g 44 (31)4 99
n n =+- g ， 因此， 22 (31)4 99
n n S n =+- g ． 命制意图与评析：考查数列的递推关系，等比数列前n 的求和公式，用叠加法求通项公 式，用错位相减的求和公式，这些都是数列的通性通法，但难度较大，错位相加考生学习 过程并不困难，但真正被考生掌握是特别困难的，新课程背景下的考生运算能力极差，是 中学数学教育中无法回避的短板，也是考生很难跨过的一道坎．
18．如图，已知四棱锥P ABCD - 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC BD ^ ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点．
（Ⅰ）证明：PE BC ^ ；
（Ⅱ）若 60 APB ADB Ð=Ð= o ，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．
解法一：（Ⅰ）延长EH 交BC 于F ，
在△CAB 和△DBA 中，
∵ ABCD 为等腰梯形，
∴CB DA = ，
CBA DAB Ð=Ð ，
AB BA = ，
∴△CAB ≌△DBA ，
∴ 35 Ð=Ð ，
又∵EH 是直角三角形AHD 斜边的中线
∴ AE EH = ，
∴ 12 Ð=Ð 4 =Ð ，
在直角三角形AHD 中，
1390 Ð+Ð= o ，即 4590 Ð+Ð= o ，
∴ 90 HFC Ð= o ，即EH BC ^ ，
又∵PH ^平面 ABCD ，BC Ì平面ABCD ，
∴PH BC ^ 图，
又∵PH ，EH 是平面PEH 内两相交直线，
∴BC ^ 平面PEH ，
又∵ PE Ì平面PEH
∴ PE BC ^ ；
（Ⅱ）由于△AHB 是等腰直角三角形，则 45 HAB Ð= o ，
又因为 60 ADB = o ，则 130 Ð= o ，设 AB AP a == ，则
sin 45sin 60 AD AB = o o ，得 6 3 AD a = ， 6 6
EH a = ，设PH h = ，则 22 22 () 22
ca185
h a a a =-= ，作AK 垂直HE 延长线于K ，则AK ^平面PEH ， 则 2 sin 2 4 AK AH a =Ð=
，所以， 2 sin 4
AK APK AP Ð== ， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是 2 4
． 解法二：易知AC ，BD ，PH 两两垂直，建立空间直角坐标系H xyz - （如图）， 由于ABCD 为等腰梯形，设 AH BH m == ，CH DH n == （n m < ） ，HP h = ， 则 (,0,0) A m ， (0,,0) B m ， (,0,0) C n - ， (0,,0) D n - ， ( ) 0,0, P h ，由于E 是 AD 中点，
则 (
,,0) 22
m n E - ，3 分 （Ⅰ）∵ (,,) 22
m n EP h =- uuu r ， ∵ (,,0) BC n m =-- uuu r ，
∴ ()()00 22
m n EP BC n m h =-´-+´-+´= uuu r uuu r g （此算式1 分，没有扣 1 分）， ∴ EP BC ^ uuu r uuu r ，即PB BC ^ ；
（Ⅱ）∵ (,0,) PA m h =- uuu r ， (0,,) PB m h =- uuu r ，∵ 60 APB = o ，
∴ 2 2222 1 cos60 2 h
m h m h == +´+ o ，即 222 2h m h =+ ，………① ∵ (,,0) DA m n =-- uuu r ，∵ (0,,0) DB n m =-- uuu r ，
∴ 2222 ()
1 cos 60
2 () n n m n
m n n m m n + === +´++ o ，即 3 m n = ，………② 由①、②得， 3 m n = ， 3 h n = ，
因为z 轴Ì平面PEH ，
所以平面PEH 的法向量可设 (,1,0) x = n ，
冶金石灰由于 (,,0) 22
m n HE =- uuu r ， 所以， 00 22 m n HE x =-+= n uuu r g ，解之 n x m = ，即 3 (,1,0) 3
= n ， 所以， (3,0,3) AP n n =- uuu r ，设线PA 与平面PEH 所成角是q ， 则sin AP AP q = n n uuu r g uuu r 4
6 3 n n = g 2 4
= ， 故直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值是
2 4
．（1 分） 命制意图与评析：以四棱锥为背景来考查空间几何线线垂直、直线与平面成角、平面 几何中等腰梯形的性质及空间向量应用中平面法向量的设置和用公理体系中直面成角的定 义与角的法．应该说难倒考生道不空间几何问题， 而是平面几何问题和考生的分析问题与 解决问题的能力．中学数学教育中另一短板是学生的平面几何知识学的很不扎实，其原因除 课标因素外，另一个原因是中考的命题，初中不是基础教育的最终学段，中考中有相当多的 内容不列入考试， 致使很多内容初中没有学． 按新课标之理念， 初中有对称图形对折叠问题， 高中有合情推理问题， 命题者怎么不能想到考生中百分之九十的人不会用等腰梯形对角线的 对称性（AH =BH ，CH =DH ） ．在立体几何中设未知数问题本来几年前外省考试中已经是一种趋 势，但对于见到未知量就怕的新课标下的考生确是又是迈不过的一道坎．
19．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人，结果如下： 性别
是否需要志愿者
男 女 需要
40 30 不需要 160 270
