。本讲提示：
1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。
2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。
3.对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。
万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。我们下一讲依然会安排一次总复习。
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上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家个思路把它们串起来:
1.万有引力
有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图:
厂GMm
F—;
（两质点间相互吸引对方的力：）显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r变为到球心的距离。比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图： （不计自转，引力即重力）
（考虑自转引力分解为重力与指向0-
上述表达中R为到地心的距离，如果研究对而附近的物体，R近似恒定，为地球半径。
当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。上面右图中，向心力指向。'。极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。
如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受
物体的引力）
例题精讲
•【例1】新发现一行星，其星球半径为6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它
的所有表面，海洋的深度为10km。学者们对该行星进行探查时发现。当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面姓的自由落体加速度。已知万有引力常数为（
G=6.67xlO-“A•那/给2)
【例2】某物体在地面上受到的重力为160N.将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=O.5g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6.gOkm,g取10掘）
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2.引力作用下的柚I
有了力，可以从力的角度理解运动了。引力作用下最简单的模型是引圆周运动，如果产生引力之间的夭体其中一个远小于另一个夭体质量（比如地球围绕太阳转，人造卫星围绕地球转）可以近似认为大物体不动。万有引力提供小夭体向心力，通过这个理解可以中心夭体的质量.以及圆周运动天体的运动参数。比如人类发射的同步卫星，轨道在赤道上方，固定的高度，固定的速度绕着地球运动。 我国发射的"东方红3号"同步
通信卫星，定点于东经々另赤
道上空.所有的同步卫星高度都
为35,786km，轨道都在赤道上
方.可想而知这个轨道将来会有
多繁忙.
理论上至少用三颗同步卫
星，才能实现对全球范国绝
大部分地区的通信覆盖，只
在极地附近有小部分的盲区.
同步卫星的高度能不能自己
拍耳业夹。
当轨道时椭圆时，计算轨道就不是仅仅从受力分析能解决的。这时候我们就得引入角动量的概念。势能的概念，以及总能的概念。一个行星围绕太阳运动，或者人造地球卫星围绕地球做椭圆轨道运动时，轨道示意图如F：
图中有我们要初步掌握的椭圆的儿何规律：=#+c-
图中还有行星运动满足的方程：
1.角动量守恒(开普勒行星第二定律)即：
sin0=v2r2sin/9,
2.能量：守恒：
mv2GMm GMm
-----b-------=--------
2r2a
有时候我们还得考虑周期公式：
a3GM
尸=新
利用开氏第二定律的面积速度表达式我们还能计算部分轨道的时间：
竺^=—rsin。包=—rv»sin0=C
单位时间转动面积为：&2&2
总的来说就这么点东西，如果我们上讲从做题的角度给大家介绍这章的知识体系，课程的内容其实不多，脉络也会很清晰。不过，学习物理的目的不是为了做题，我们也希望大家本讲学习的时候也不是光把注意力落在做题上。而是多注意一个物理原理在发现过程中对人类认知造成的困扰，以及科学家解决困扰的突破点，同时更要了解这个原理在将来的学习中的发展。
Q例题精讲
'【例3】设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示.为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度.求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？
已知：、返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g.火星半径为/?.轨道舱到火星中心的距离为r：不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响.
【例4】地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮"计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出"时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为A,II转周期为丁，地球表面重力加速度为g.太阳在非常遥远的地方.求
(1)地球同步卫星离地心的距离
(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差a。
(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角9
【例5】2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A•做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50x102天文单位（地球公转轨道的半径为一个夭文单位），人马座A，就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。
⑴若将S2星的运行轨道视为半径r=9.SOxlO2夭文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M a是太阳质量的多少倍（结果保留一位有效数字）：
⑵黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为\zfni
£P=-G—，式中M、/?分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7x10-
n N-m2/kg2，光速c=3.0xl08m/s，太阳质量M,=2.OxlO^kg，太阳半径凡=7.0xl08m，不考虑相对论效应，利用上问结果.在经典力学范围内求人马座A•的半径战与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。
【提示】：我们可以利用万有引力定律推导航天器的宇宙速度.脱离引力的束缚，飞向浩瀚的宇宙一直是人类几千年的梦想.那么要实现这个梦想，在地面上发射航天器的时候，
至少需要多大速度才够呢？推导可能用到的参数：地球质呈约5・98xl0*kg，地球半径约6371km，太阳质量1.98x10为kg，地球到太阳的平均距离1.496x1（/km，万有引力常数
G=6.67xlO-"Nm2/kg2
g16.7km/s
g11.2km/s
#>7.9kinzs
（地球上的三种宇宙速度）
