第七讲万有引力定律(二)
1．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道发生了偏离． 2．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于________对物体的______，即mg ＝________，式中M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离．由此可得出地球的质量M ＝________. 3．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由____________________提供，则有________________，式中M 是________的质量，m 是________的质量，r 是________________________，也就是行星和太阳中心的距离，T 是________________________．由此可得出太阳的质量为：________________.4．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的________，也可以计算出行星的质量．
________________和____________________确立了万有引力定律的地位．
5．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是_____ _______运动，向心力由它们之间的____________提供，即F 万＝F 向，可以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：________
2
v 24π2＝m ＝mrω＝mr 2.
r T
(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的__________，即F 万＝mg ，主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg ＝______(m 在M 的表面上)，即GM ＝gR .
2
6．下列说法正确的是()
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
7．利用下列数据，可以计算出地球质量的是()
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
【考点演练】
考点一发现未知天体
1．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳
的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知()
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星的质量与地球相等
D．这颗行星的密度与地球相等
考点二计算天体的质量
.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F 引=mg ，即G =mg ，整理得GM =gR 。
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F 引=F 向。
一般有以下几种表达形式:
①G =m ②G =mωr ③G =m r 2.天体质量和密度的计算1．“自力更生”法(g－R)
利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R。Mm gR2
(1)由G ＝mg 得天体质量M＝。
R2G M M 3g
(2)天体密度ρ＝＝＝。
V 44πGR
πR33(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。2．“借助外援”法(T－r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r。Mm 4π2r 4π2r3
(1)由G ＝m 得天体的质量M＝。
r2T2GT 2
M M 3πr3
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
V 4GT 2R 3
πR33
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
3π
，
GT 222[典例]2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，则
θ
A．航天器的轨道半径为
s
2πt
B．航天器的环绕周期为
θ
s3
C．月球的质量为
Gt2θ3θ2
D．月球的密度为
4Gt2
s
[解析]根据几何关系得r＝，故A 错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫
θt θ2πt
过角度为θ，则＝，得T＝，故B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所
T 2πθ
⎛s ⎫
4π2 ⎪3
Mm 4π24π2r3s344
⎝θ⎭以G ＝m r，得M＝＝＝，故C 正确；月球的体积V＝πr3＝
r2T 2GT233⎛2πt ⎫
2Gt2θG ⎪⎝θ⎭
s3
Gt2θM 3θ2⎛s ⎫
π ⎪3，月球的密度ρ＝＝＝，故D 错误。V 4⎛s ⎫4πGt2
⎝θ⎭π ⎪33⎝θ⎭
[答案]BC [易错提醒]
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天4
体密度时，V＝πR3中的R 只能是中心天体的半径。
3
[针对训练]
1．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆1
周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量
20比约为 (
)
1A．10C．5
B．1
D．10
Mm
解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G
r24π2M1⎛r1⎫⎛T2⎫⎛1⎫⎛365⎫＝m r，则＝ ⎪3· ⎪2＝ ⎪3× ⎪2≈1，选项B 正确。
T2M2⎝r2⎭
⎝T1⎭⎝20⎭⎝4⎭答案：B
2．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是()
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
3．已知引力常量G＝×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝×106m，则可知地球质量的数量级是()
A．1018kg C．1022kg B．1020kg D．1024kg
4．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那
么要确定该行星的密度，只需要测量()
A．飞船的轨道半径C．飞船的运行周期B．飞船的运行速度D．行星的质量
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少
【方法技巧训练】
应用万有引力定律分析天体运动问题的方法
6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则()
T1
＝()4/3
T2
T1
＝()2
T2
T2
＝()4/3
T1
T2
＝()2
T1
7．已知地球半径R＝×106m，地面附近重力加速度g＝9.8m/s2.计算在距离地面高为h
＝2×106m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.
1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得()
A．该行星的质量B．太阳的质量
D．太阳的平均密度
C．该行星的平均密度
2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速
度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的()
B．4倍
C．16倍
D．64倍
3．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道
半径约为地球绕太阳公转半径的倍．根据以上数据，下列说法中正确的是()
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
