第24章 圆
第一节 圆的有关性质
知识点一：圆的定义
1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。 2、圆的特征
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。
（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。
知识点二：圆的相关概念
1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 注意：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径。因此，在提到到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。
2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧，也不是劣弧。
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。
知识点三：圆的对称性
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 注意：（1）圆的对称轴有无数条
（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。
2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个
角度，所得的图形都与原图形重合。
知识点四：垂径定理及推论（重点）
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，AB是⊙的直径，CD是⊙的弦，AB交CD于点E，若
AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD
注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。
（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。
2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图：CD是非直径的弦，AB是直径，若CE=DE，则AB⊥CD，CB=DB，AC=AD。
注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图
直径AB平分CD，但AB不垂直于CD。
重点剖析
（1）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法的理论依据。
（2）一条直线如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（被平分的弦不是直径）；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，
这五条中的任意两条， 那么必然具备其其余三条。
即：①是直径 ② ③ ④ ⑤中 任意2
个条件推出其他3个结论。
3、垂径定理的推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥，∴
知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）
1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
所对的弧也相等。如图，在⊙无框画中，若∠AOB=∠COD，则AB=CD，AB=CD.
2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所以的其余各组量也相等。
知识点六：圆周角定理及其推论
1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
如图：∠ACB=∠AOB，∠ADB=∠AOB.
2、圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，若AB为直径，则∠C=∠夯实系数D=90°；若∠C或∠D为90°，则AB是直径。
注意：（1）同弧指同一条弧，同一条弧所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等。等弧是指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧。
（2）“同弧或等弧”改为“同弧弦或等弦”结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等。
知识点七：圆内接多边形
1、圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形led间隔柱是内接四边形
∴
第2节 点和圆、直线和圆的位置关系
知识点一：圆的确定
1、过一点作圆：只要以点A外的任意一点
为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以
作出，这样的圆有无数个。
2、过两点作圆：经过两个点A，B作圆，只要以线段
AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或
点B的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个。
3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的
三点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，
圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处，以O为
圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A、B、C
麦克风架三点的圆，这样的圆有且只有一个。
4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上。
方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。
1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆，
2、这个圆叫做三角形的外接圆。
3、水力测功器三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边
的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙是
△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心。
（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。
（2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形。
（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点。
知识点三：反证法：
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
知识点四：直线和圆的位置关系
化石标本 1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
知识点五：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
（1）两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）切线判定方法：（1）数量关系：若圆心到直线的距离
等于半径，则直线是圆的切线。
（2）切线的判定定理：经过半径外端 且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线。）
2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
