8.1随机信号及其特征描述
对于随机变量X ，用它的分布函数、概率密度及其他数字特征描述。 概率密度函数() ()dP x p x dx
=
概率密度函数是关于信号的知识，也是研究随机信号的瓶颈问题。
8.1.2均值与方差
丰胸乳液随机变量的均值（数学期望值）{}()x E X xp x dx μ∞
-∞
==⎰
随机变量的均方值2
2
2{||}||()x D E X x p x dx ∞
-∞
==
⎰
随机变量的方差22
2{||}||()x
x x E X x p x dx σμμ∞
-∞
=-=
-
⎰
离散型随机变量，运算由积分改为求和。
8.1.3矩
随机变量的m 阶原点矩{||}||()m m
m x
E X x p x dx η∞
-∞
==⎰
随机变量的m 阶中心矩{||}||()m m
m X x x E X x p x dx γμμ∞-∞
=-=-⎰
8.1.4随机向量
由N 个随机变量组成的向量12[,,...,]T N X X X X =
随机向量的分量i X 和j X 之间的协方差,cov(,){()()}i j i j i j i x j x X X E X X μμ=∑=-*-
协
方
差
矩
阵
2112122122212cov(,)...cov(,)cov(,)...cov(,){()()}cov(,)cov(,)...N T N x x N N N X X X X X X X X E X X X X X X σσμμσ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∑=-*-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
两个随机变量X 和Y 是相互独立的，如果(,)()()p x y p x p y = 两个随机变量X 和Y 是互不相关的，如果 cov(,){()()}{}{}{}0x Y X Y E X Y E X Y E X E Y μμ=-*-=*-*=注意：
互不相关不一定相互独立。
8.1.5随机信号
（1）一个随机信号X(t)是依赖于时间t 的随机变量。
离散化随机信号()s X nT ，对()X n 的每一次实现记为(,),,1,2,...,x n i n i N =-∞∞=
以汽车局部振动信号为例。
()X n 的均值、方差是时间n 的函数11(){()}lim (,)N
X N i n E X n x n i N μ→∞===∑
2
2
21
1(){|()()|}lim |(,)()|N
x
x x N i n E X n n x n i n N σμμ→∞==-=-∑
()X n 的自相关函数*
*
1212121
1(,){()()}lim (,)(,)N x N i r n n E X n X n x n i x n i N →∞===∑
随机信号的自相关函数12(,)x r n n 描述了信号()X n 在两个时刻12,n n 的相互关系。 是随机信号非常重要的统计量。
（2）两个随机信号的互相关函数和互协方差函数
*1212(,){()()}XY r n n E X n Y n =
121122cov (,){[()()][()()]}XY X Y n n E X n n Y n n μμ=-*-
信号()X n 和()Y n 是相互正交的，如果1212(,)0,XY r n n n n =≠对所有的
8.2 平稳随机信号
随机信号()X n 若均值、方差均为常数，且自相关函数12(,)x r n n 和12,n n 的选取起点无关，仅和12,n n 之差有关，则()X n 是宽平稳随机信号。
*1221(,){()()}(),X X r n n E X n X n m r m m n n =+==-
自协方差12cov (,)cov ()X X n n m =。
8.2.1平稳随机信号的自相关函数的性质
性质1：(0)|()|,X X r r m m ≥对所有的。且有2
2
(0)||X X X r σμ=+ 即(0)X r 代表了()X n 的总的平均功率。 性质2：若()X n 是实信号，则()()X X r m r m =- 若()X n 是复信号，则*
()()X X r m r m =-，
即()X r m 是Hermitian 对称的。
树脂吸附性质3：由(),...,(0),...,()X X X r M r r M -这2M+1个自相关函数组成的矩阵M R 是非负定的。
(0)
(1)()(1)(0)(1)()(1)(0)X X X X X X M X X X r r r M r r r M R r M r M r --⎡⎤
⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦接地线夹
M R 称为Hermitian 对称的Toeplitz 矩阵。
例1：随机相位正弦序列()sin(2)s X n A fnT π=+Φ，式中,A f 均为常数，Φ是一随机变
量，在0~2π内服从均匀分布，即1
,02(){20,p ϕπ
ϕπ≤≤=其他
试求的均值及其相关函数，并判断其平稳性。
例2：随机振幅正弦序列()sin(2)s X n A fnT π=，式中f 为常数，A 为正态随机变量，设其均值为0，方差为2
σ，试求的均值、自相关函数，并讨论其平稳性。
8.2.2平稳随机信号的功率谱
随机信号自功率谱()j X P e ω的定义： 1）对自相关函数作Z 变换：()()m X X
m P Z r
m z ∞
2硅酸铝纤维毡
-=-∞
=
∑
2）j z e
ω
=得到：()()j j m X X
m P e r
m e ω
ω∞
-=-∞
=
混凝土表面增强剂
∑
功率谱反映了信号的功率在频域随频率ω的分布。()j X P e ω又称为功率谱密度。 3）假定的功率有限，功率谱密度的反变换存在，1()()2j j n X X r m P e e d π
ωωπ
ωπ
-
=⎰
功率谱的性质：
性质1：()j X P e ω
都是ω的实函数。功率谱失去了相位信息。 性质2：()j X P e ω对所有的ω都是非负的。 在工程实际中常见的三种功率谱：
1） 白噪声谱
具体定义
21()()()2j j m u u r m P e e d m π
ωωπ
ωσδπ
-
=
=⎰
()n δ又称Kronecker 函数，1
0,
(){
0,
n n n δ==≠ 2） 线谱
2
1
()[()()]2
L
j k X k k k A P e ω
πδωωδωω==++-∑
3） ARMA 谱
功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率ω的分布。自功率谱密度函数是信号自相关函数()x R τ的傅里叶变换。
自功率谱密度函数的应用：
1）动态信号的频率组成和频率结构的分析。 2）故障的判断和分析。
3）医学上可测量的脑电波、心电图的自谱分析。 4）识别和判断周期信号和随机信号。
互谱密度函数的应用：
1）通过户功率谱密度函数测量系统的频率特性（传递函数）。 2）滞后时间测量。 3）测量滤波器的特性。
8.2.3 一阶马尔可夫过程
一个随机信号{(),}X t t T ∈，若其概率密度函数满足，
11110011[()|(),(),,()]
[()|()],()()
n n n n n n n n n n n p X t x X t x X t x X t x p X t x X t x X t X n ++--++≤====≤==
则称为马尔可夫过程。如果和都取离散值，则马尔可夫过程又称为马尔可夫链。 一阶马尔可夫过程：()(1)()X n X n u n ρ=-+，()u n 是白噪序列。
8.3 平稳随机信号通过线性系统
设()X n 为一平稳随机信号，它通过线性时不变系统()H z ，输出为()Y n 。
()()()()()k Y n X n h n X k h n k ∞
=-∞
=*=
-∑
随机信号不存在傅里叶变换， 求()X n 和()Y n 之间的关系？
1）()()()()Y X r m r m h m h m =**-
2）2
()()|()|j j j Y X
P e P e H e ωωω= 3）()()()XY X r m r m h m =* 4）()()()j j j XY X P e P e H e ωωω=
8.3.2系统辨识
假定线性系统得输入与输出分别是平稳的随机信号()X n 和()Y n ，其功率谱分别是
()j X P e ω和()j Y P e ω。
假设()X n 是功率为1的白噪声信号，则有2
()|()|j j Y P e H e ωω=。
谱分解技术：确定系统()H z 。
8.4 平稳随机信号的各态遍历性
定义：设()x n 是各态遍历信号()X n 的一个样本函数，对()X n 的数字特征可重新定义为
1
{()}lim ()21M
X x M n M
E X n x n M μμ→∞=-===+∑ 1
(){()()}lim ()()()21M
X x M n M
r m E X n X n m x n x n m r m M →∞=-=+=+=+∑
8.4.1功率谱的时间平均定义
22
1|()|()lim {|()|}lim{}2121
j M
j j n x M M n M X e P e E x n e M M ωω
ω-→∞→∞=-==++∑
Wiener-Khintchine 定理：()()j j k
x x
k P e r k e
ω
ω∞
-=-∞
=
∑
8.4.2 随机信号基本概念的应用
（1）从含有噪声的记录中检查信号的有无
()x n 是记录到的随机信号，其中噪声为()u n
检查是否有已知其先验知识的有用信号()s n乳化柴油
()()()x n s n u n =+ （加法性噪声）
