2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数y=ax2+bx+c 的图像和性质 1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），其中0＜x 1＜1，有下列结论：①abc ＞0；②﹣3＜x 2＜﹣2；③4a +1＞2b ﹣c ；④4ac ﹣b 2+4a ＜0；⑤a>13 ．其中，正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12b x a =-=-得b ＝2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（−3，0）与点（−2，0）之间，即有−3＜x 2＜−2；由于b ＝2a ，c ＜−1，则4a ＋1＜2b−c ；由于b ＝2a ，则4ac−b 2＋4a ＝4a （c−a ＋1），利用c ＜−1，−a ＜0，所以4ac−b 2＋4a ＝4a （c−a ＋1）＜0；由于x ＝1时，函数为正值，则a ＋b ＋c ＞0，即a ＋2a ＋c ＞0，解得13a c >-，然后利用c ＜−1得到13a >
． 【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴0a >，
∵抛物线的对称轴为直线12b x a
=-
=- ∴b ＝2a ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴另一个交点在点（﹣3，0）与点（﹣2，0）之间，
∴﹣3＜x 2＜﹣2，所以②正确；
∵b ＝2a ，c ＜﹣1，
∴4a +1＜2b ﹣c ，所以③错误；
∵b ＝2a ，
∴22444444(1)ac b a ac a a a c a -+=-+=-+，
∵1c <-，即10c +<，
而0a -<，
∴c ﹣a +1＜0，
∴4ac ﹣b 2+4a ＝4a （c ﹣a +1）＜0，所以④正确；
显示器驱动∵x ＝1时，y ＞0，即a +b +c ＞0，
∴a +2a +c ＞0，即13a c >-，
IKRTV而c ＜﹣1， ∴13
a >，所以⑤正确． 故选：C ．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a
=-
；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物
线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列判断错误的是 ( )
A ．a ＞0
B ．c ＜0
C ．函数有最小值
D ．y 随x 的增大而减小
【答案】D 【解析】【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可
【详解】
解：图象开口向上，所以a ＞0.故A 正确；
抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，故B 正确；
抛物线有最低点，即函数有最小值，故C 正确；
在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，故D 错误.
故选D
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键． 3．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
option60【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a 、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，
马铃薯馒头
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，洗手器
移动管式喷砂机
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C ．
【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
4．若抛物线2(1)21y k x x =-++的开口向上，则k 的取值范围是（ ）
A ．0k >
B ．0k ≥
C ．1k >
D ．1k ³
【答案】C
【解析】【分析】
二次函数的图象的开口向上时，二次项系数大于0．
【详解】
因为抛物线y=（k-1）x 2+2x+1的开口向上，
所以k-1＞0，
解得k ＞1．
故选C ．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质．二次项系数a 决定二次函数图象的开口方向：①当a ＞0时，二次函数图象向上开口；②当a ＜0时，抛物线向下开口．
5．二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点坐标是（2,3），则a ，b ，c 取值可以是（ ）
A ．1a =，4b =，7c =
B ．1a =，-4b =，1c =
C ．2a =，8b =，5c =
D ．-2a =，8b =，-5c = 【答案】D
【解析】【分析】
设这个二次函数的关系式为y=a （x-2）2+3，然后整理成一般式，即可得到a 、b 、c 之间的关系，从而得到正确选项．
【详解】
设这个二次函数的关系式为y=a （x-2）2+3，
整理得，y=ax 2-4ax+4a+3，
b=-4a ，c=4a+3，
故a=-2，则b=8，c=-5，
