221(0)x y a b a b
+=>>中:(特别提醒此题结论适用x 型椭圆)
(1)如图①所示，若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于A ,B 两点，过A ,B 两点作椭圆的切 线l ,l '，有l l '，设其斜率为0k ，则202b
k k a
=−.
(2)如图②所示，若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为椭圆上异于A ,B 的
点，若直线PA ,PB 的斜率存在，且分别为1k ,2k ，则2122b
k k a
=−.
(3)如图③所示，若直线(0,0)y kx b k m =+≠≠与椭圆C 交于A ,B 两点,P 为弦AB 的中
点，设直线PO 的斜率为0k ，则202b
k k a
=−.
2.在双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
−=>>中，类比上述结论有:(特别提醒此题结论适用x 型
双曲线)
(1)202b k k a =. (2)2122b k k a =. (3)2
02b k k a
=.
3.在抛物线C ：2
2(0)y px p =>中类比1（3）的结论有00
(0)p
k y y =
≠. 特别提醒：圆锥曲线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以通过联立+韦达定理求解.
二、典型例题
1．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（文））设椭圆的方程为22124 x y +=，斜率为k
的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论正确的是（ ）
A ．直线A
B 与OM 垂直；
B ．若直线方程为22y x =+，则AB =
C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为1433⎛⎫
⎪⎝⎭
，
D ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +−=； 【答案】D 【详解】
不妨设,A B 坐标为()()1122,,,x y x y ，则2211124x y +=,2222
124
x y +=，两式作差可得：
1212
12122y y y y x x x x +−⨯=−+−，设()00,M x y ，则00
2y k x ⨯=−. 对A ：0
2AB OM y k k k x ⨯=⨯
=−，故直线,AB OM 不垂直，则A 错误； 对B ：若直线方程为22y x =+，联立椭圆方程2224x y +=，
可得：2680x x +=，解得124
0,3
x x ==−，故1222,3y y ==−，
则AB =
=
，故B 错误； 对C ：若直线方程为y =x +1，故可得
12y x ⨯=−，即002y x =−，又001y x =+， 解得0012,33x y =−=，即12,33M ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，故C 错误；
此题对C 另解，直接利用二级结论，由于本题椭圆方程为22
124
x y +=，是
y 型椭圆，所
以：2024
22a k k b =−=−=−，故可得00
12y x ⨯=−，即002y x =−，又001y x =+，
解得0012,33x y =−=，即12,33M ⎛⎫
− ⎪⎝⎭
，故C 错误；
对D ：若点M 坐标为()1,1，则1
21
k ⨯=−，则2AB k =−，
又AB 过点()1,1，则直线AB 的方程为()121y x −=−−，即230x y +−=，故D 正确. 故选：D .
【反思】本题考察椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，再使用二级结论时，注意先判断椭圆是x 型还是y 型，再利用结论求解.
2．（2021·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知椭圆()
22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线212y x =的焦点重合，过点F 的直线交E 于A 、B 两点， 若AB 的中点
坐标为()1,1−，则E 的方程为（ ）
A ．22
14536x y +=
B ．22
13627x y +=
C ．22
12718
x y +=
D ．22
1189
x y +=
清扫车离合器
【答案】D 【详解】
解：设()11,A x y 、()22,B x y ，若AB x ⊥轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，
将A 、B 的坐标代入椭圆方程得22
112222
222211
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212
220x x y y a b −−+=， 可得121212
22
120x x y y y y a x x b +−++⋅=−， 因为线段AB 的中点坐标为()1,1−，所以，122x x +=，122y y +=−， 因为抛物线212y x =的焦点为()3,0，所以()3,0F ， 又直线AB 过点()3,0F ，因此1212101132AB y y k x x −−−=
==−−，所以，22212
02a b
−+⨯=， 整理得222a b =
，又3c ==218a =，29b =，
因此，椭圆E 的方程为22
1189
x y +=，
故选：D.
另解：设()11,A x y 、()22,B x y ，若AB x ⊥轴，则A 、B 关于x 轴对称，不合乎题意，因为抛物线212y x =的焦点为()3,0，所以()3,0F ，所以3c =，设线段AB 的中点坐标为
()1,1M −，利用二级结论222222
0(1)131OM AB
OM FM b b b k k k k a a a
−−=−⇒=−⇒−⨯=−−221
2
b a ⇒=，又因为229a b =+，解得218a =，29b =，因此，椭圆E 的方程为221189
x y +=，故选：D.
【反思】在圆锥曲线中，涉及到中点弦问题，小题中，常用点差法，也可以直接使用二级结论，但是在解答题中，不建议直接使用二级结论，即使使用点差法，也需检验答案是否符合题意，否则，最后还是需要联立直线与圆锥曲线，再求解.
3．（2021·湖北·高二阶段练习）已知斜率为1的直线与双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
−=>>相
交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ） A
B ．2
C
D ．3
【答案】A 【详解】
设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，则22
1122
22
2222
11x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩， 两式相减得2222
1212
diat22
x x y y a b −−=
，所以2121221212y y x x b x x a y y −+=⋅−+． 因为1202x x x +=，1202y y y +=，所以
2120
2120
−=⋅−y y b x x x a y ． 因为12121AB视频硬件
y y k x x −==−，002==OP y k x ，所以2212b a =，故222b a
=，
故c e a ==
故选：A.
另解：直接利用双曲线中的二级结论，
22
22222202221223b b k k b a c a a e e a a
=⇒⨯=⇒=⇒−=⇒=⇒=.
【反思】注意使用二级结论的公式，一定要先判断，第一判断曲线是椭圆，还是双曲线，还是抛物线，第二判断圆锥曲线是x 型，还是y 型，第三，根据判断选择合适的二级结论，代入计算.
4．（四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考理科数学试题）已知抛物线
()220x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的
横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．3y =− B ．3
2
y =−
C ．3x =−
D ．3
2
x =−
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【答案】B
【详解】
解：根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，
所以2
112x py =①，2222x py =②，
所以，①−②得：()()()1212122x x x x p y y −+=−，即1212
122AB y y x x k x x p
−+==−， 因为直线AB 的斜率为1，线段AB 的中点的横坐标为3， 所以1212123
12AB y y x x k x x p p
−+=
===−，即3p =， 所以抛物线26x y =，准线方程为3
2
y =−.
故选：B
【反思】在抛物线C ：2
2(0)y px p =>中类比1（3）的结论有00
(0)p
k y y =
≠，注意到本题的抛物线方程是()2
20x py p =>，此时中点弦二级结论有0
x k p
=
，
马丽散
直接代入3
13p p
=
⇒=，小题都可以用二级结论直接求解，但是注意先判断适用条件. 5．（2021·江西·南昌市新建区第一中学高二期末（理））已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，
OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）
A ．14
B ．13
C ．1
2
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【答案】B 【详解】
由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y 因为M 是线段AB 的中点，所以012
012
22x x x y y y =+⎧⎨
=+⎩
将2114y x =和2
224y x =两式相减可得：()2212124y y x x −=−，
即12120
2
y y k x x y −=
=− ∵000k y >∴>
∴001
13,62
OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=,
