1．如图，以点A 为顶点作两个等腰直角三角形ABC ∆，ADE ∆，90BAC DAE ∠=∠=︒，AD AE =，AB AC =，直线上，连接BD ，CE ． （1）试判断BD ，CE 的数量关系，并说明理由； （2）延长BD ，交CE 于点F ，试求BFC ∠的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】解：（1）CE BD =，理由如下：
在EAC ∆与DAB ∆中，
90AE AD EAC DAB AC AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()EAC DAB SAS ∴∆≅∆，
CE BD ∴=；
（2）EAC DAB ∆≅∆，
ECA DBA ∴∠=∠，
45ECA CBF DBA CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
454590ECA CBF DCB ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒，
1809090BFC ∴∠=︒-︒=︒；
（3）成立，
理由：90BAC DAE ∠=∠=︒，
BAC CAD DAE CAD ∴∠+∠=∠+∠,
BAD CAE ∴∠=∠,
在EAC ∆与DAB ∆中，
90AE AD EAC DAB AC AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()EAC DAB SAS ∴∆≅∆，
CE BD ∴=，ECA DBA ∠=∠，
45ECA CBF DBA CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
454590ECA CBF DCB ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒，
1809090BFC ∴∠=︒-︒=︒．
2．已知：如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒．
（1）求证：BD AE =．
（2）若ABD DAE ∠=∠，8AB =，6AD =，求四边形ABED 的面积．
【答案】解：（1）ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒， AC BC ∴=，CD CE =．
90ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．
无感电阻器在BCD ∆和ACE ∆中，BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪=∠⎨⎪=⎩
，
()BCD ACE SAS ∴∆≅∆，
BD AE ∴=；
（2）由（1）得：BCD ACE ∆≅∆，
CBD CAE ∴∠=∠，
90CBP BPC ∠+∠=︒，BPC APD ∠=∠，
90EAC APD ∴∠+∠=︒，
90AHB ∴∠=︒，
90BAH ABD ∴∠+∠=︒，
DAE ABD ∠=∠，
90BAH DAE ∴∠+∠=︒，即90BAD ∠=︒，
8AB =，6AD =，
10BD AE ∴==，
1010250ABED S ∴=⨯÷=四边形．
3．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD AE =，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点．
【答案】解：连接BP ，
ABC ∆和PCD ∆都为等边三角形，
AC BC ∴=，DC PC =，60ACB DCP ∠=∠=︒，
ACB DCB DCP DCB ∴∠-∠=∠-∠，即ACD BCP ∠=∠， ()ACD BCP SAS ∴∆≅∆，
AD BP ∴=，
又180RAB BAC QAE ∠+∠+∠=︒，
R ∴，A ，Q 三点共线，
又60CBP CAD ∠=∠=︒，180RBA ABC CBP ∠+∠+∠=︒， R ∴，B ，P 三点共线，
又AQ AE AD BP ===，
RQ RA AQ RB BP RP ∴=+=+=，
又60R ∠=︒，
PQR ∴∆是等边三角形，
则P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点．
4．【问题探究】
（1）如图①已知锐角ABC ∆，分别以AB 、AC 为腰，在ABC ∆的外部作等腰Rt ABD ∆和
Rt ACE ∆，连接CD 、BE ，试猜想CD 、BE 的大小关系 ；
（2）如图②ABC ∆、ADE ∆都是等腰直角三角形，点D 在边BC 上（不与B 、C 重合），连接EC ，则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；（不必证明） 线段2AD ，2BD ，2CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】
（3）如图③，在四边形
ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若9BD =，3CD =，求
AD 的长．
【答案】解：（1）ABD ∆和ACE ∆是等腰直角三角形， AB AD ∴=，AE AC =，且90DAB EAC ∠=∠=︒，
DAB BAC EAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAE DAC ∠=∠， 在DAC ∆和BAE ∆中，
AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，
CD BE ∴=，
故答案为：CD BE =．
（2）ABC ∆、ADE ∆都是等腰直角三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，
BAD DAC CAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，
在BAD
∆和CAE
∆中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
BAD CAE SAS
∴∆≅∆，
CE BD
∴=，45
ACE B
∠=∠=︒，
又BC BD CD
=+，45
ACE
∠=︒，
BC CE CD
∴=+，90
DCE
∠=︒，
222
CD CE DE
∴+=，
mesh自组网BD CE
=，
2
DE AD
=，
222
2
CD BD AD
∴+=．
故答案为：BC CE CD
=+．
（3）作AE AD
⊥，使AE AD
=，连接CE，DE，BAC CAD DAE CAD
∠+∠=∠+∠，
即BAD CAE
∠=∠，
在BAD
∆与CAE
∆中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
模切机刀模=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
空气源热泵热水系统⎩
，
()
BAD CAE SAS
∴∆≅∆，
9
BD CE
huae
∴==，
45
ADC
∠=︒，45
EDA
∠=︒，
90
EDC
∴∠=︒，
2262
DE CE CD
∴=-=，
90
DAE
∠=︒，
2
6
2实验室升降台
AD AE DE
∴===．
