第７章 滤波器的设计方法
教学目的
1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；
2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；
3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点
重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；
2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；
3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：
1.冲激响应不变法，双线性变换法
2.用窗函数法设计FIR滤波器
FIR滤波器的逼近原理与设计方法
7.0 基本概念
选频滤波器的分类
数字滤波器是数字信号处理的重要基础。在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。因此， 数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。 我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为
将上式两边经过傅里叶变换，可得
式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H(ejω)是系统的频率响应函数。 可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。（系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)
可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图7-1所示。（系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)
图 7-1 数字滤波器的理想幅频特性
满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。由图7-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在ωc<ω≤π范围内所有分量全部滤掉。相反地，理想高通滤波器使输入信号中频率在ωc≤ω≤π范围内的所有分量不失真地通过，而滤掉低于ωc 的低频分量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。
滤波器的技术指标
理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。
一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图7-2（称容限图）所示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻带的容限。
图 7-2 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图
在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap和阻带应达到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：
（7-1a）
（7-1 b）
式中，假定|H(ej0)|=1(已被归一化)。例如|H(ejω)|在ωp处满足|H(ejωp，则Ap=3 dB；在ωs处满足|H(ejωs，则As=60 dB（参考图7-2）。(注：lg是log10的规范符号表示。)
FIR型滤波器和IIR型滤波器
数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。
IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤波器的差分方程为
（7-2）
式（7-2）中的系数ak至少有一项不为零。 ak≠0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为
