《通信网理论基础》
一、 实验目的
M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为的Poisson过程，服务时间是参数为的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有无穷多个，排队的方式是FIFO。 M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，等待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little公式等进行理论上的分析与求解。
本次实验的目标有两个：
实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对比。
仿真两个M/M/1级联所组成的排队网络，统计各个队列的平均队列长度与平均系统时间等值，验证Kleinrock有关数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换机时，随机按负指
数分布取一个新的长度的假设的合理性。
二、 实验原理
1、 M/M/1排队系统
根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。
设到达过程是一个参数为的Poisson过程，则长度为的时间内到达个呼叫的概率服从Poisson分布，即， ，其中>0为一常数，表示了平均到达率或Poisson呼叫流的强度。设每个呼叫的持续时间为，服从参数为的负指数分布，即其分布函数为.服务规则采用先进先服务的规则（FIFO）。
在该M/M/1系统中，设，则稳态时的平均队长为，顾客的平均等待时间为。
2、 二次排队网络
由两个M/M/1排队系统所组成的级联网络，顾客以参数为的泊松过程到达第一个排队系统A，服务时间为参数为的负指数分布；从A出来后直接进入第二个排队系统B，B的服务时间为参数为的负指数分布，且与A的服务时间相互独立。
在该级联网络中，如稳态存在，即且，则两个排队系统相互独立，顾客穿过网络的总时延为各个排队系统的时延之和，即。
如将该模型应用于数据包穿越网络的平均时延的计算，假设数据包的包长服从负指数分布，平均包长为；排队系统A的信道速率为，B的信道速率为。为保证两次排队的独立性，Kleinrock假设数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度。
三、 实验内容
1、 仿真时序图示例
本实验中的排队系统为当顾客到达分布服从负指数分布，系统服务时间也服从负指数分布，单服务台系统，单队排队，按FIFO方式服务为M/M/1排队系统。
理论上，我们定义服务员结束一次服务或者有顾客到达系统均为一次事件。为第i个任何一类事件发生的时间，其时序关系如下图所示。
bi 第i个任何一类事件发生的时间
ti 第i个顾客到达类事件发生的时间
ci 第i个顾客离开类事件发生的时间
Ai 为第i-1个与第i个顾客到达时间间隔
Di 第i个顾客排队等待的时间长度
Si 第i个顾客服务的时间长度
顾客平均等待队长及平均排队等待时间的定义为
其中，为在时间区间上排队人数乘以该区间长度。
为第i个顾客排队等待时间。
2、 仿真设计算法
（1）利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流。
（2）对每个排队系统，分别构建一个顾客到达队列和一个顾客等待队列。顾客到达后，首先进入到达队列的队尾排队，并检测是否有顾客等待以及是否有服务台空闲，如果无人等待并且有服务员空闲则进入服务状态，否则顾客将进入等待队列的队尾等待。
（3）产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间。
（4）当服务员结束一次服务后，就取出等待队列中位于队头的顾客进入服务状态，如果等待队列为空则服务台空闲等待下一位顾客的到来。
（5）顾客结束A系统的服务后，立即进入B系统排队等待服务。
（6）由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段内排队的人数。
（7）在排队网络达到稳态时，计算顾客平均系统时间以及平均队长。
3、 仿真结果分析
（1）分析仿真数据，统计顾客的平均系统时间与平均队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。
（2）验证Kleinrock假设的合理性。——假设包长不变，即二次排队不独立，统计平均值与理论值的相近程度。
4、 仿真结果分析
分析仿真数据，统计顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。
四、 实验要求
1. 两人一组，利用MATLAB实现排队网络的仿真模拟。
2. 统计给定和条件下系统的平均队长和平均系统时间，与理论结果进行比对。
3. 统计单个系统的平均队长和平均系统时间随的变化曲线。
五、 仿真模拟和理论仿真结果的对比
1. 仿真设计算法（主要函数）
利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流，产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间：
ArriveInterval=-log(rand(1,SimNum))/Lambda;%到达时间间隔
ServeInterval=-log(rand(1,SimNum))/Mu;%服务时间
ArriveTime(1)=ArriveInterval(1);%顾客到达时间
时间计算
SystemTime=LeaveTime-ArriveTime; %各顾客的系统时间
WaitTime=SystemTime-ServeInterval;%各顾客的等待时间
由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段内排队的人数：
TimePoint=[ArriveTime,LeaveTime];%系统中顾客数随时间的变化
ArriveFlag=zeros(size(TimePoint));%到达时间标志
CusNumAvg=sum(CusNumStart.*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end); %系统中平均顾客数
SysCusNum=zeros(size(TimePoint));
QueLengthAvg=sum([0 QueLength].*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end);%系统平均等待队长
ArriveTime 每个顾客的到达时间
LeaveTime 每个顾客的离开时间
ArriveInterval 顾客的到达时间间隔
ServeInterval 每个顾客的服务时间
ArriveNum 到达总人数
SimNum 仿真人数
SystemTime 每个人的系统时间
SystemTimeAvg 平均系统时间
WaitTime 排队等待时间
WaitTimeAvg 平均排队等待时间
SysCusNum 系统中的顾客人数
IntervalTime 事件间隔时间
CusNumStart 系统中的顾客数？
CusNumAvg CusNum_avg系统中的平均顾客数
QueLengthAvg QueLength_avg平均等待队长
2. 算法的流程图
3. 仿真结果分析
设置Lambda=0.5，Mu=0.9，顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差如下：
从上表可以看出，通过这种模型和方法仿真的结果和理论值十分接近，增加仿真顾客数时，可以得到更理想的结果。当仿真人数超过100000人时，仿真结果与理论结果已经十分接近。在误差允许的范围内，认为相符。
实验结果截图如下（SimNum分别为100、1000、10000、100000）
100人仿真结果与理论结果对比
1000人仿真结果与理论对比
10000人仿真结果与理论结果对比
100000人仿真结果与理论对比
1000000人仿真结果与理论结果对比
4. 实验源代码
语言：matlab
代码：
clear;
clc;
%M/M/1排队系统仿真
SimNum=input('请输入仿真顾客总数SimNum='); %仿真顾客总数；
Lambda=input('请输入到达率Lambda='); %到达率Lambda
Mu=input('请输入服务率Mu='); %到达率Mu
ArriveTime=zeros(1,SimNum);
